阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆
考试说明：阿波罗尼斯圆经常在高考中出现： 一、知识梳理
如图，点A,B为两定点，动点P满足PA??PB， 则??1时，动点P的轨迹为 ；
P
A
当??1时，动点P的轨迹为 ，后世称之为阿波罗尼斯圆．
二、诊断练习
1、已知两定点A(?1,0),B(2,0)，动点P满足
PAPB
?
1
，则P点的.轨迹方程为2
三、典型例题
例1、已知两点A(0,2),B(1,0)，直线l:3x+y+m=0上一点P
满足PA=，则实数m的取值范围是 。
1
变式1：满足条件AB?2,AC?
2BC的三角形ABC的面积的最大值是 ．
变式2：在平面直角坐标系xOy中，点A?0,3?，直线l：y?2x?4.设圆的半径为1 ，圆心在l上.若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
四、课堂达标
C(0,aD),1、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0),B(3,0),
(0,a?
P
，使得2，若存在点
PA?,PC?PD，则实数a的取值范围是．
2
阿波罗尼斯圆
一、知识梳理
直线；圆
二、诊断练习
1、x2?y2?4x?0
三、典型例题
思路分析：由PA可知，点P的轨迹是一个圆，问题即为直线和圆有公共点。
例1、解：设点Px,y，由条件可得，点P的轨迹是x2-4x+y2+4y=2，而点P又在直线上，也就是说，直线和圆有公共点。所以，m???14,6?。
点评：若A,B是两个定点，满足PA?kPB(k?1)的动点P的轨迹是一个圆。这个结论在高考中经常出现。
()
0），变式1：解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（?1，
22
）?y2?2?x?1）?y2， B（1，0），设C（x，y），由AC?2BC得x?1
2
平方化简整理得y2??x2?6x?1??（x?3）?8?8，∴y?22，则
1
??2y?22，∴S?ABC的最大值是22． 2
22
变式2：解： 设C?a,2a?4?，则圆方程为?x?a???y?2a?4??1
222222
又设M(x0,y0)， ?MA?2MO ?x0??y0?3??4x0?4y0， 即x0??y0?1??4 S?ABC?
2
这说明M既在圆?x?a???y?2a?4??1上，又在圆x??y?1??4上，因而这两个圆
2
2
2
必有交点，即两圆相交或相切，
?2?1?解得0?a?
?2?1，
1阿波罗尼斯圆212，即a的取值范围是[0,]． 55
四、课堂达标
1、解：设P(x,y
)
?
，
整理得(x?5)?y?8，即动点
P在以(5,0)为圆心， 另一方面，由PC?PD知动点P在线段CD的垂直平分线y?a?1上运动，因而问题就转化为直线y?a?1与圆(x?5)?y?8有交点，
所以a?
1?a
的取值范围是[?11]．
3
2
2
22
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