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江苏高考附加题
冲刺一模附加题训练一
1.矩阵与变换
?m0?
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵M=??(m>0)对应的变换作用下得到的曲线为n1??
x2+y2=1,求矩阵M的逆矩阵M-1.
【解】设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵M对应的变换下的像是
P'(x',y'),
?x'??m0??x??mx??x'=mx,
由??=第一文库网?,得 =??????''?y??n1??y??nx+y??y=nx+y,
因为P'(x',y')在圆x2+y2=1上,所以(mx)+(nx+y)=1,化简可得
2
2
(m2+n2)x2+2nxy+y2=1.??????????3分
依题意可得m2+n2=2,2n=2,m=1,n=1或m=-1,n=1而由m>0可得m=1,n=1.???6分
?10??10?-1
故M=?,M=??-11?.??????????????????10分 11????
2.坐标系与参数方程
在平面直角坐标xOy中,已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆C1,C2的极坐标
方程及这两个圆的交点的极坐标; (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
【解】(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2, 圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ,
?ρ=2,由?
?ρ=4cosθ
得ρ=2,θ=±
π3
,故圆C1,C2交点坐标为圆
,2,-).???????5分 )(2(33
(2)由(1)得,圆C1,
C2交点直角坐标为(1,(1,,
??x=1,故圆C1与
C2的公共弦的参数方程为? ????????10分
y=t(t.??
注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数
范围,扣2分.
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC,且AB=AC=A1B=2.
(1)求棱AA1与BC所成的角的大小;
(2)在棱B1C1上确定一点P,使二面角P-AB
-A1.
【解】(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 则 C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),
C1
B1
A1
AA1=(0,2,2),BC=B1C1=(2,-2,0).
1cos?AA1,BC?===-,
2AA1?BC
故AA1与棱BC所成的角是. ?????????4分
3(2)P为棱B1C1中点,
设B1P=λB1C1=(2λ,4-2λ,2). -2λ,0),则P(2λ,设平面PAB的法向量为n1=(x,y,z),AP=(2λ,4-2λ,2),
C1
AA1?BC
C
A
(第3题)
??n?AP=0,?x+3y+2z=0,?z=-λx,则?1 ????
?2y=0?y=0.??n1?AB=0
故n1=(1,0,-
λ)?????????????????8分
而平面ABA1的法向量是n2=(1,0,0),则cos?n1,n2?=解得λ=
n1?n2=,
n1?n21
,即P为棱B1C1中点,其坐标为P(1???????10分 ,3,2).2
4.设b>0,函数f(x)=(ax+1)2-x+lnbx,记F(x)=f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导
2abbb函数),且当x = 1时,F(x)取得极小值2. (1)求函数F(x)的单调增区间;
(2)证明[F(x)]-F(xn)≥2n-2(n∈N*).
n
【解】(1)由题F(x)=f'(x)=1?2(ax+1)?a-1+1=1ax+1,x>0,b>0.
2abbbxbx于是F'(x)=1a-12,若a<0,则F'(x)<</p>
0,与F(x)有极小值矛盾,所以a>0.
bx令F'(x)=0,并考虑到x>0,知仅当x=时,F(x)取得极小值.
()
()
=1,所以解得a=b=1.??????????????????4分
?(a+1)=2,?b+∞). 故F(x)=x+1(x>0),由F'(x)>0,得x>1,所以F(x)的单调增区间为(1,
(2)因为x>0,所以记g(x)=[F(x)]
n
-F(x)=[F(x)]-F(x)=x+x
n
n
n
()-(x+x)
n
n
n
n-1n-2n-3-1=C1?+C2?2+C3?3+??????+Cnnxnxnxnx?n-1 xxxx
n-r-rr因为Cr?+Cn,2,L,n-1), nxnx?n-r≥2Cn(r=1xx23n-1n
所以2g(x)≥2(C1n+Cn+Cn+??????+Cn)=2(2-2),故
[F(x)]
n
-F(xn)≥2n-2(n∈N*).???10分
冲刺一模附加题训练二
1. 已知矩阵M=?
?1 x?
的一个特征值为-1,求其另一个特征值. ?
?2 1 ?
x2y2
2. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1的右顶点为A,上顶点为B,点P是第一
164
象限内在椭圆上的一个动点,求?PAB面积S的最大值. 3. 设10件同类型的零件中有2件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.
(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;
(2)求X的概率分布和数学期望E(X).
4. 三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,
AA1=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB1与平面AC11D所成角的正弦值; (2)求二面角B1-A1D-C1的大小的正弦值.
冲刺一模附加题训练三
1.矩阵与变换
?10?
已知曲线C: y2=2x,在矩阵M=??对应的变换作用下得到曲线C1,C1在矩阵02???0-1?N=??对应的变换作用下得到曲线C2,求曲线C2的方程. 10??
?0-1??10??0-2?解:设A=NM,则A=???02?=?10?, ?????????????3分 10??????
设P(x', y')是曲线C上任一点,在两次变换下,在曲线C2上的对应的点为P(x, y), x'=y,
?x??0-2??x'??-2y'??x=-2y',??则 ??=???y'?=?x'?, 即?y=x',∴?y'=-1x. ????7分 10y???????????2
又点P(x', y')在曲线C: y2=2x上,∴ (-1x)2=2y,即y=1x2.????10分
82.坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的极坐??x=,
标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直线l
的参数方程为?(t为参数,t∈R).试
y=1+t??
在曲线C上求一点M,使它到直线l的距离最大.
x2
解:曲线C的普通方程是+y2=1. ??????????????2分
3
直线l
的普通方程是x=0. ?????????4分 设点M
的直角坐标是θ,sinθ),则点M到直线l的距离是
d
7分
因为≤θ+
π
4
)≤
πππ3π
当sin(θ+)=-1,即θ+=2kπ-(k∈Z),即θ=2kπ-(k∈Z)时,d取得最大值.
4424θ=. 7π
综上,点M
的极坐标为)时,该点到直线l的距离最大. ??10分
6
θ=注 凡给出点M
的直角坐标为(,不扣分.
3.如图,已知定点R(0,-3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使PQ=1QM,且PR?PM=0.
2(1)求动点M的轨迹C1;
(2)圆C2: x2+(y-1)2=1,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点
(从左到右),交C2于B,C两点(从左到右),求证:AB?CD为定值.
(第3题)
1
解:(1)法一:设M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由PR?PM=0,PQ=QM及R(0,-3),
2得
?
?-x1(x-x1)+(-3)y=0,?
1?
化简,得x2=4y.??????4分 ?-x1=x,
2?
11?y=y-y2.2??22
所以,动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线.????5分 法二:设M(x,y).
1xy由PQ=QM,得 P(-,0),Q(0,).
223x3x
所以,PR=(,-3),PM=(,y).
22
x33
由PRPM=0,得 (,-3)?(x,y)=0,即x2-3y=0.化简得 x2=4y. 4分
224所以,动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线.???5分
(2)证明:由题意,得 AB?CD=AB?CD,⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F. 设A(x1,y1),D(x2,y2),则AB=FA-FB=y1+1-1=y1. ??????7分 同理 CD=y2.
设直线的方程为 x=k(y-1).
?x=k(y-1),
12?22222
由?12得y=k(y-1),即ky-(2k-4)y+k=0.
4y=x,??4
所以,AB?CD=AB?CD=y1y2=1. ??????????10分 4.已知数列{an}满足:a1=2a-2,an+1=aan-1+1(n∈N*). (1)若a=-1,求数列{an}的通项公式;
(2)若a=3,试证明:对?n∈N*,an是4的倍数.
解:(1)当a=-1时,a1=-4,an+1=(-1)an-1+1.
令bn=an-1,则b1=-5,bn+1=(-1)bn. 因b1=-5为奇数,bn也是奇数且只能为-1, 所
以
,
?-5,n=1,bn=?
?-1,n≥2,
即
?-4,n=1,
?????????????????????3分 an=?
0,n≥2.?
(2)当a=3时,
a1=4,an+1=3an-1+1. ????????????????????????4分
下面利用数学归纳法来证明:an是4的倍数. 当n=1时,a1=4=4?1,命题成立;
设当n=k(k∈N*)时,命题成立,则存在t∈N*,使得ak=4t,
∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27?(4-1)4(t-1)+1=27?(4m+1)+1=4(27m+7),
4t-5
+其中,4m=44(t-1)-C14(t-1)?4
4t-4-r
+(-1)rCr+4(t-1)?4
t-3
-C44(t-1)?4,
∴m∈Z,∴当n=k+1时,命题成立.
∴
由数学归纳法原理知命题对?n∈N*成
立. ???????????????????10分
冲刺一模附加题训练四
?x??x'??x+2y?
1.已知,点A在变换T:??→??=?作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到?
?y??y'??y?
点、B.若点B的坐标为(-3,4),求点A的坐标. 2.已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos(θ+
π
2
)与直线l:ρsin(θ+
π
4
)
M为
圆C上的动点.求点M到直线l距离的最大值.
3.银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整
数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:
注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率; (Ⅱ)用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
4.已知函数f(x)=
12
x+1nx. 2
(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[g(x)]n-g(xn)≥2n-2(n∈N+).
冲刺一模附加题训练五
1.已知矩阵A=?
?1 a??-1?
α=λ=-1的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已11???
?c0 ??1?
知β=??,求A5β.
2.
已知直线的参数方程?
?8??1?
??x=2-t
(为参数),圆C的极坐标方程:ρ+2sinθ=0.
??y=1(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)在圆C上求一点P,使得点P到直线的距离最小.
3.如图,圆锥的高PO=4,底面半径OB=2,D为PO的中点,E为母线PB的中点,F为底面圆周上一点,满足EF⊥DE.
(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值; (2)求二面角O-DF-E的正弦值.
A B
4.(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;
(2)某城市有n(n为奇数,n≥3)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.
D
E
冲刺一模附加题训练六
1.矩阵与变换
?-1a?
已知a,b∈R,若矩阵M=??所对应的变换把直线l:2x-y=3变换为自身,求b3??M-1.
【解】对于直线l上任意一点(x,y),在矩阵M对应的变换作用下变换成点(x',y'),
?-1a??x??-x+ay??x'?则?=?=??, ????
?b3??y??bx+3y??y'?
因为2x'-y'=3,所以2(-x+ay)-(bx+3y)=3, ???????????????4分
?-2-b=2,?a=1,所以?解得?
?2a-3=-1,?b=-4.
?-11?所以M=??, ????????????????????????????7分 -43???3-1?所以M-1=?. ????????????????????????10分 ?
?4-1?
2.坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0(a>0)被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2,求a的值.
【解】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x+y+a=0, ??????????3分
圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4 ,????6分 因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2)
,
=a>
0,所以a=2. ???????????????10分
3.
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1=6,AB=2,M,N分别是棱BB1,CC1上的点,且BM=4,CN=2. ⑴求异面直线AM与AC11所成角的余弦值; ⑵求二面角M-AN-A1的正弦值.
1
1
A1
(第3题图)
【解】⑴以AC的中点为原点O,分别以OA,OB所在直线为x,z轴,建立空间直角坐标系
O-xyz(如图)C,. 则O(0,0,0),A(1,0,0),
A1(1,6,0),C1(-1,6,0).
所以AM=(-,AC11=(-2,0,0). 所以cos=
AMA1C1AMA1C1
=
=
所以异面直线AM与AC11
⑵平面ANA1的一个法向量为m=(0,0,1).
设平面AMN的法向量为n
=(x,y,z),因为AM=(-,AN=(-2,2,0),
??n⊥AM,??-x+4y=0,由?得?令x=
1,则n=(1,1,.
???-2x+2y=0,?n
⊥AN,
所以cos=
mn, ==mn. ?????????????????10分 02n-112n-222n-3rnn-1
4.已知函数f(x)=Cnx,n∈N*. -Cnx+Cnx-+Cn(-1)rx2n-1-r++Cnn(-1)x⑴当n≥2时,求函数f(x)的极大值和极小值;
所以二面角
M-AN-A11
⑵是否存在等差数列{an},使得a1C0n+a2Cn+并说明理由.
n
+an+1Cn=nf(2)对一切n∈N*都成立?
n1n-1n-2rn-r
【解】(1)f(x)=xn-1[C0+C2-???+Cr+???+(-1)nCnnx-Cnxnxn(-1)xn]
=xn-1(x-1)n,
f'(x)=(n-1)xn-2(x-1)n+xn-1?n(x-1)n-1=xn-2(x-1)n-1[(n-1)(x-1)+nx],
令f'(x)=0得x1=0,x2=
n-1
,x3=1, 2n-1
因为n≥2,所以x1
x
(-∞,0)
(0,
n-1
)2n-1
n-12n-1
(
n-1
,1)2n-1
1
(1,+∞)
f'(x)
+ 0 + 0
-
+
f
(x)
无
极值
极大值
极小值
(n-1)n-1?(-n)nn-1
所以当x=时,y极大;当x=1时,y极小=0.???4分
(2n-1)2n-12n-1
当n为奇数时f(x)的增减性如下表:
x
(-∞,0)
(0,
n-1
)2n-1
n-12n-1
(
n-1
,1)2n-1
1
(1,+∞)
f'(x)
+ 0
-
0 + 0 +
f(x
)
极大值
极小值
无极值
(n-1)n-1?(-n)nn-1
所以x=0时,y极大=0;当x=时,y极小=.????6分
(2n-1)2n-12n-1
12nn-1
(2)假设存在等差数列{an}使a1C0成立, n+a2Cn+a3Cn+???+an+1Cn=n?2
n-m
由组合数的性质Cm, n=Cn
12nn-1把等式变为an+1C0, n+anCn+an-1Cn+???+a1Cn=n?2
两式相加,因为{an}是等差数列,所以a1+an+1=a2+an=a3+an-1=
1故(a1+an+1)(C0n+Cn+
=an+1+a1,
n
+Cn)=n?2n,
所以a1+an+1=n. ?????????????????????????8分 再分别令n=1,n=2,得a1+a2=1且a1+a3=2,
进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式为an=n-1(n∈N*).???10分
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