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激发培养创新潜能的方法和策略
激发培养创新潜能的方法和策略
新课程改革强调学生不再是课程教学的工具，而是课程的主动学习者、发展者，是课程学习的主人。新课程要求教师打破以往按统一模式塑造学生的传统做法，关注每一个学生的特殊性，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，要求教师采取有效的方式或手段，把沉睡在每个学生身上的潜能唤醒起来，激活起来，这一切，为教师的发挥提供了宽广的舞台。同时新课程标准下的教师不再是单纯地传授知识，而是帮助学生吸收、选择和整理信息、知识，在课堂上，千篇一律的死板讲授已不再为学生们所接受，代之而行的是主持和开展种种认知性学习活动，师生共同参与探讨丰富多彩的知识世界。
在新课程的背景下，数学课堂教学应使学生真正成为获取知识的主人，以学生为主体，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生良好健康的主体人格，充分培养和提高学生的自主性、能动性和创造性，因此我们的教学不应再是教师单纯地采用“满堂灌”、“一言堂”、“填鸭式”等等的不良教法模式去传授知识，而应是实施凸显学生的主体地位，充分发挥学生的主体作用，创造机会，教给学生主动学习的能力，培养学生主动进取的意识，着眼于学生的终身发展，培养激发创新潜能，以适应新课改要求的教学，只有这样，才能培养出适应当今社会发展需要的人才，这是当前新课改的理念要求，是一个值得研究的问题，现结合自己的教学实践作初步探讨。
一、创设机会主体参与，求知历程激发创新
在教学中发挥学生的主体作用，可大胆让学生参与到探究知识形成过程之中，创造机会，留给学生。让学生在求知历程中逐渐掌握学习的方法，让学生互相探究，互相讨论，不但使他们能知其然，知其所以然，而且要掌握其所以然。例如，在讲授“直线方程”内容时，由于学生已学习了“直线的倾斜角”和“斜率”的定义，先复习完定义后，我只讲直线的点斜式方程，让学生推导其它的四种直线方程形式，并把全班分成四组，每组派一个代表上台推导一种直线方程的形式，看谁快。由于有挑战，学生们热情高涨、积极地投入到对问题的探究之中，经过学生的主体参与，既使学生掌握四种直线方程形式的推导方法，对知识发生过程印象更深，又使本来的截距问题这一难点问题也解决了，而且有一个学生还推出了另一种直线方程的形式——参数式，体现了创新的思维能力，这种教法提高了学生对知识探求的兴趣，发挥了学生学习的主体作用，激发了创新的潜能。
二、引导学生勤于思考，撷取规律源自创新
创新的前提是理解，创新的理念来自勤奋的思考。我们知道，数学知识往往以概念、性质、定理或公式及其推导过程呈现出来。对性质、定理和公式少不了要进行严密的逻辑推理论证，完成这些论证需要一个思维萌动、展开、收放的过程。为此，我们首先必须让学生对推理过程充分理解。因为数学知识的获得主要依赖紧张思维活动后的理解，只有透彻的理解才能融入其认知结构。这就需要摈弃过去那种单靠教师在课堂上包办数学结论的推导过程的教法，而是要引导学生积极参与到求知的历程之中，不致使学生养成只会死记硬背结论，然后套用这些结论或机械地模仿某种模式去解题的坏习惯，而是要做到使学生去努力获取结论，撷取规律。需要引导学生勤于思考，培养创新理念，对知识和方法要多问几个为什么？如：为什么要导出这个性质？这个性质、定理或公式有什么功能？如何应用？勤于思考的表现还在干对认知过程的不断反思、回顾，对结论性质要善于总结、推广、拓展，从中获得规律，因为规律的撷取往往源自于勇于创新的精神，源自敢于打破常规的魄力。如让学生记住：
性质1：过抛物线y?2px的焦点F作一直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2
B(x2,y2)，则y1y2??p2，x1x2?12p. 4
不能过于生硬，教师也不必将证明过程和盘托出，可先用：
思考题：过抛物线y2?2x的焦点F作一直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、
00当l的倾斜角分别为45、60时，A、B两点的纵坐标之积y1y2有何变化吗？ B(x2,y2)，
让学生们通过探究，推出结论。他们经过推算，发现y1y2都等于?1，都为定值。教师提问：这是巧合吗？那么是否不管直线l的倾斜角如何变化，总有y1y2??1吗？
把学生分成两大组，第1组把倾斜角改为???0,??；第2组把y2?2x改为y2?2px；第1组的运算结果为y1y2??1；第2组的运算结果为y1y2??p2；发现仍等于定值。再总结出性质1，学生就会记得更加牢固。
再把问题改为：过定点M(a,0)(a?0)的直线l与抛物线y2?2px(p?0)交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，问A、B两点的纵坐标之积y1y2为定值吗？让学生自由探究、再由教师启发可得到：
性质2：过定点M(a,0)(a?0)的直线l与抛物线y2?2px(p?0)交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1y2??2ap，x1x2?a2.
鼓励学生推广性质，寻求得出新的结论、性质，有学生发现x1x2?a2，即x1、a、x2成等比数列，于是顺手牵羊得到：
性质3：若过抛物线y?2px(p?0)焦点弦的两端点A、B作x轴的垂线，垂足各为2
P、Q，焦点为F，则OP、OF、OQ成等比数列.
这个性质的发现是创新理念的初步萌发，教师乘机鼓励他们发扬创新创造、总结知识规律的精神，学生们的思维一经激发，又一发而不可收，把焦点弦改为任意弦，得：
性质4：若抛物线y?2px(p?0)的任意弦AB两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，且直线AB与x轴交于M(x3,0)，则x1、x3、x2成等比数列.
还可把抛物线的对称轴改为y轴，又可以得到：
性质5：过抛物线对称轴上的任一点M作直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2B(x2,y2)，则弦AB的两端点横（纵）坐标之积为定值.
这些性质的推导、推广，就是创新理念的萌发、培养与激发，这需用教师善于引导学生勤于思考、品尝更丰富的知识大餐，真正使教学处于一种“授生以渔”，而不是“授生以鱼”的生动活泼的境界。
三、低起点跃多层次，高要求中促创新
心理学家认为，学生之间的差异几乎是绝对的，因而教师必须依据所教班级学生的实际情况，因材施教，在教学中采用低起点、多层次，高要求的做法，使知识的发生、发展规律
与学生的认知结构有机的结合起来，让各层次的学生主体参与，在课堂内均学有所得，智力尽量得到发展。例如，在求参数取值范围的复习中，笔者选用以下两例：
问题1：已知方程2x2?(6m?1)x?3(3m?1)?0有实根，求实数m的取值范围？ 问题2：已知方程2sin2x?(6m?1)sinx?3(3m?1)?0有实根，求实数m的取值范围？
问题1给出后，基础差的学生也能将其轻松解决，因为由?≥0极易求得m的取值范围，这给他们一种劳有所获的心理快感和精神上的奖赏。
问题2给出后，基础差的学生仍然由?≥0求得m的取值范围，则错了。这是草率之举，但不能责怪他们，教师细心帮其分析错因：由于?1≤sinx≤1，故?≥0不能确保方程的解在区间??1,1?内，即?≥0只是方程有实根的必要非充分条件！
要将参数m的取值范围求出并非举手之劳那么容易，如何让各层次的学生能主体参与，特别是让基础差的学生继续保持学习的热情、在探索该题上共同谋求发展思维能力呢？我采用如下方法：
1、低起点，助成功
让基础差的学生观察方程特点，利用求根公式试试看，一会儿，他们做出来了： 解法1：令t?sinx，则?1≤t≤1，方程可化为2t2?(6m?1)t?3(3m?1)?0， 6m?1?(6m?5)23由求根公式得t?，则由?1≤t≤1，得?1≤?3m?1或（舍去）24
3m?1≤1，
2故0≤m≤为所求m的取值范围. 3
2、多层次，益交流
上述问题2有没有其它解法呢？学生们各抒己见，课堂上涌动着一股强劲的探索热流，优生发现了：
2解法2：令t?sinx，则?1≤t≤1，方程化为2t?(6m?1)t?3(3m?1)?0，利用
一元二次方程区间根的分布规律，分方程在??1,1?上有两解或有且仅有一解这两种情况去求解.
2解法3：方程化为(9?6sinx)m?3?sinx?2sinx，∵9?6sinx?0，利用参数分
离法得
1?sinx3?sinx?2sin2xm?，观察到分子分母可分解因式，约简得m?，利用三角函39?6sinx
数有界性求解.
inx?解法4：方程可化为(sinx?1?3m)(2sinx?3)?0，∵s3inx?3m?1，，则s2
解法同上.
这表明由于学生在小组的交流中不断获益，思维向多层次迈进了。还有没有其它解法
呢？再鼓励他们寻找创新的解法。
3、高要求，促创新
由于学生的主体作用的充分发挥，极大地调动思维的积极性，有学生发现了别出心裁的创新解法——导数法，我让他上台板演解法：
3?t?2t2
解法5：令t?sinx（?1≤t≤1），则m?，对m求导得：9?6t
3?t?2t23(2t?3)21的增区间， m???0，∵?1≤t≤1，∴??1,1?为函数m?29?6t3(9?6t)'
23?1?2?1223?(?1)?2(?1)2
?，即0≤m≤为所求m的取值范则0?≤m≤39?6?139?6(?1)
围.
解法5运用导数法，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域，这是一种创新解法，学生们通过比较，认为解法2太麻烦，得分类讨论；解法4最快捷，解法5则令人值得回味。
我顺势提出一道较难又易错的题目，让学生接受高强度的考验与挑战：
问题3：设x?[0,?]，若方程cos2x?4asinx?a?2?0有两个不同的解，求实数a的取值范围？
学生们摩拳擦掌，跃跃欲试，部分学生开始都采用求含参数二次方程根的分布问题的方法，把方程转化为函数，用分类讨论思想，考虑二次函数的图象与x轴的交点的位置关系，但对于区间端点值的取值情况，就不能准确把握了，结果出现如下错解：
2x，则方程错解： 原方程可化为2sinx?4asinx?1?a?0，令t?sin
22t2?4at?1?a?0在区间?0,1?内有一解，又令f(t)?2t?4at?1?a，即方程f(t)?0
在区间?0,1?内有一解，则：
???16a2?8(1?a)?0130a?f(0)f(1)≤，解得或≤a≤1为所求实数a的或?25?0?a?1
取值范围.
这究竟错在哪里呢？
错因剖析：错解中有两处常见错误，首先对于t?sinx，当t??0,1?时，原方程在区间?0,??内有两个不同的解x1?arcsint,x2???arcsint，但当t?1时，原方程仅有一解x??
2；其次f(0)f(1)≤0包含下面三种情况：
1、f(0)f(1)＜0，此时方程f(t)?0在区间(0,1)内有且只有一个解；
2、f(0)?0，此时方程f(t)?0在区间?0,1?内至少有一解t?0.又必须分当①t?0或
t??0,1?；②t?0或t?1；③t?0或t??0,1?时这三种情况，原方程的解各有2、3、4个；
3、f(1)?0，此时方程f(t)?0在区间?0,1?内至少有一解t?1.同样必须分当①有一解t?1，另一解t?http://http://www.unjs.com/news/559B8F1A10DEB51B.html?0,1?（此时a?
程的解各有3、1个.
综上可知a的取值必需有所取舍，错解中a的取值范围应舍弃31,t?1,)；②t?1或t??0,1?时这两种情况，原方553才正确，学生们终于明5
白了错因，而采用导数法的学生大大地避免了分类讨论的麻烦，避免前面的错误，成功率就高得多了。正确解法如下：
2解：令t?sinx(0≤t≤1)，则原方程可化为2t?4at?1?a?0， (4t?1)a?2t2?1，
2t2?12t2?14(2t2?t?1)''∵4t?1≥1，∴a?. 令f(t)?a?，则a?f(t)?. 分别24t?14t?1(4t?1)
''令f(t)＞0与f(t)＜0并结合0≤t≤1，求得f(t)的増区间为??1?,1?，减区间为2??
113?1?a?f()?f(1)?，则最小值，最大值，区间端点值，∵0,a?f(0)?1?minmax?225?2?
原方程有两个不同的解，且函数f(t)的图象在区间?0,1?内是连续的一段曲线，故应除去一个f(t)值对应两个t值的情况，因而a的取值范围为a?13或＜a≤1. 25
诚然，解题教学如能做到教师精讲，学生多练，而不是老师滔滔不绝地讲解，让他们主体参与，施展拳脚，发现解法，创新潜能和解题能力就会到挖掘发挥和提高。
由于教学中凸显了学生的主体地位，这种欢欣宽松、鼓励上进的教学气氛能激奋学生积极参加，从而让每一个学生多一种机会、多一份感悟、多一些信心去参与探究活动，使学生在低起点、多层次，高要求的教学氛围中，基础差的学生能获得成功，品尝成功的欢愉；而优生则赢得更多思考的时间，获得巧妙的创新解法，使不同层次的学生都能“奋力一跳，桃子摘到”，感受努力的价值，使自己真正成为学习数学的主人，而不是被“抛弃者”与“奴役者”，从而信心大增，激发了创新潜能，教学效果也就不言而喻。
四、题组训练施展拳脚，创新潜能挖掘发挥
创新的能力可通过解题来训练，在解题教学时，可设置题组进行解题训练，要改变传统的解题训练繁杂重复的做法，力求精练精讲，一题多解，多题同模；要加强解题的目的性、解法的创新性、思路的创造性，让学生在题组的解题训练中施展才华，挖掘创新能力，解题训练要有坡度和难度。如果解题训练有一个坡度，可以使学生循序渐进从易到难，完成一个小题，相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵，喜悦之心，不禁而生。如果题组没有难度，学生不可能有疑，重复会令人乏味。反之，设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，既巩固了基础，又实现了从有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值。在均值不等式公式的教学中，我设置如下题组：
221、设a、b?R，且a?b?2，分别求⑴ab；⑵a?b的取值范围. ?
2、设a、b?R，且a?b?1，分别求⑴ab?
33?11122；⑵ab?；⑶ab?22；ababab⑷ab?1的取值范围. a3b3
11≥2、ab?≥2等等，提示学生：由abab让学生施展解题的功夫，题组1容易解决，而对于题组2，学生们则往往会陷入一个可怕的陷阱：利用均值不等式公式，得ab?
于ab的取值范围为0?ab≤11，所以ab?≥2不能取得等号！应利用重要的函数4ab
f(x)?x?1111在区间?0,1?上单调递减的性质，求得⑴ab?≥4：⑵ab?≥xab4ab
111112；⑶a2b2?22≥16；⑷a3b3?33≥64. 264ab16ab
再让学生深入观察、探究题组2结论的特点，看看结论有没有带规律性的东西可以总结。通过小组开展讨论、学生发言、分组比赛、上台板演等方式，鼓励学生探求规律，推广得到：
?结论：设a、b?R，且a?b?1，??R，则(ab)??11?4?≥. ??4(ab)
设计这种题组的解题训练使学生的主体意识得到了张扬，主体作用得到了发挥，创新潜力、创造能力得到更好地挖掘培养，使学生体味到成功的愉悦。
五、新知旧知载体依托，创新理念渗透蕴涵
在引入新知识时，要根据教学目标和教学内容，与旧知识有机联系起来，寻找恰当的载体，作为施教的依托，在课堂中使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，将培养学生的创新意识和能力理念渗透其中。
如在讲授复数概念时，可讲到正是十五世纪数学家遇到在生产实际运用中，碰到一个数的平方为负数，以为出错，因为数不够用啦，才导致了一类新数——复数的产生，这本身就是一种创新理念的体现，这说明学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始，宋代有一位教育家说过：“读书无疑者，须教有疑。有疑者却要无疑，到这里方是长进。”，还可以告诉学生学习复数的作用：飞机机翼的美观安全与复杂的复数方程有关！以增强对学习数学是有用的认识。
总之，在数学课堂教学中凸显学生的主体地位，发挥学生的主体作用，营造出开放的、适合主体发展需要的教学氛围，将培养学生的创新意识、能力和理念渗透在和谐、宽松、民主而又活跃的教学情景之中，激发学生的创新潜能，着眼于学生的终身发展，才能培养出具有创新理念、意识、能力的高素质人才。
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