分式的四则运算精讲精练(含答案)
分式的四则运算
知识总结归纳：
1. 分式的乘除法法则
ab?cd?acbd
；
ab
?
cd
?
ab
?
dc
?
adbc
当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是：
①取各分母系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的.式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则：
ac?bc?a?bc
。
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则：()?n（n为正整数）
bb
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 例1：计算
x?x?2x?x?6
22
a
n
a
n
?
x?x?6x?x?2
2
2
的结果是（ ）
A.
x?1x?3
B.
x?1x?9
C.
x?1x?9
2
2
D.
x?1x?3
2
2
分析：
(x?2)x(?1)x(?
?(x?3)x(?2)x(?
2x)?(3x)?(
1)x?(2)x?(x1?)(
x3?)(
22
x1)?
x3)?
19
故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
*例2：已知abc?1，求
aab?a?1
?
bbc?b?1
?
cac?c?1
的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式? ?
aab?a?1
aab?a?1
??
ababc?ab?a
ab1?ab?a
nm???
abcabc?abc?ababca?1?abmm?n
?
?1 )的值。
a?ab?1ab?a?1nm?
m
例3：已知：2m?5n?0，求(1?)?(1?
m?n
分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：(1?
?
nm?
mm?n
)?(1?
nm?
mm?n
)
m(m?n)?n(m?n)?m
m(m?n)?nm(m?n)
?
m(m?n)?n
?
?
m(m?n)?n(m?n)?m
m(m?n)
?
m?nm?n
5
故原式?2
5
aba?b
13
bcb?c
n?n
?
72
n?
32
n?
73
* 例4：已知a、b、c为实数，且
的值是多少？
?，?
2
1
4
n?n
，
cac?a
?
15
，那么
abcab?bc?ca
分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得： 所以2( 又因为
1a?1b?1c
1a?1b?3，
1b?1a1c??4，1b?1c1c?1a?5
)?12 即
?1c?1b?1a
?6
abcab?bc?ca
?16
ab?bc?ca
abc
?6 所以
例5：化简：(
x?1x?2
3
3
?
x?1x?2
2
)?
x?4x?1
2
2
(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?2)(x?2)
解一：原式? ?
(x?2)(x?2)x?1
???
x?3x?2x?4
x?1
24
3
2
?
(x?x)?3(x?1)?(x?1)
x?1
2
4232
x(x?1)(x?1)?3(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)
x?1
(x?1)(x?x?3x?3x?3?x?1)
x?1
3
23
2
2
?x?2x?4x?4
(x?1)(x?x?1)(x?2)(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)
解二：原式? ???
x?2x?1x?2x?1
?(x?x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)
2
2
?x?x?x?2x?2x?2?x?3x?2
?x?2x?4x?4
3
2
3222
说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次
多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例1（2000·北京朝阳）计算：1?
n?mm?2n
?
m?n
2
2
2
2
m?4mn?4n
解：
m?2nm?n
m?n?m?2n
m?n
3nm?n
?1???
说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例2（2001·内蒙呼和浩特） 已知：
Mx?y
2
2
?
2xy?yx?y
2
2
2
?
x?yx?y
，则M?_________。
?
2xy?y?x?2xy?y
x?y
2
2
222
?
x
2
2
2
x?y
?
Mx?y
2
2
?M?x2
说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 例1：计算：[
1(a?b)
2
?
1(a?b)
2
]?(
1a?b
?
1a?b
)
解一：原式?
(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)
?4ab(a?b)(a?b)1a?b
?
1a?b
2
2
22
22
?
a?b?a?b(a?b)(a?b)
?
??
(a?b)(a?b)
?2b1
?
1a?b
2a(a?b)(a?b)1a?b
?
1a?b
)
?
2aa?b
2
2
解二：原式?( ?
)(
a?b
)?(
1a?b
?
1a?b
?
a?b?a?b(a?b)(a?b)
?
2aa?b
2
2
说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 例2：若a?b?3ab，则(1?
12
2
2
2b
3
3
a?b
)?(1?3
2ba?b
)的值等于（ ）
A. B. 0
3
3
C. 1
3
D.
23
解：原式?
a?b?2ba?b
a?b
23
3
33
?
ahttp://http://www.unjs.com/news/55BB64658DC3371E.html?b?2ba?b
2
2
(a?b)(a?ab?b)a?b
?3???322
a?ba?b(a?b)(a?ab?b)a?b?
a?ab?ba?ab?b
2
22
a?b
故选A
?
3ab?ab3ab?ab
?
2ab4ab
?
12
[基本练习]
1. 已知：a?b?2，ab??5，则 A. ?
25
ab1951
?
ba
的值等于（ ） D. ?
245
B. ?
145
C. ?
2. 已知x2?16x?1?0，求x3? 3. 计算：
1x
2
x
3
的值。
?
1x
2
?3x?2
11112222
?
1x?5x?6
2
?7x?12
?
1x
2
?9x?20
* 4. 若A?
99999999
?1?1
，B?
99999999
22223333
?1?1
，试比较A与B的大小。
1a
1b
1c
*5. 已知：a?b?c?0，abc?8，求证：
???0。
【答案】
1.
?a?b?2，ab??5?
?a?b
22
?(a?b)?2ab?14?
2
ab
?
ba
?
14?5
??
14 故选B 5
2.
1x
3
x?1x
36
1?x?
3
??
(x?1)(x?x?1)
x
3
242
?
16x(x?x?x?16x)
x
3
422
?16[3?
16(x?1)
x
2
]?16[3?
16?16x
x
]?16?259?4144
说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。 3. 解：原式?
1(x?1)(x?2)
1x?11x?1
1x?21x?5
?
1(x?2)(x?3)
1x?2
2
?
1(x?3)(x?4)
1
1x?4
?
1(x?4)(x?5)
1
1x?5
???
??
?4
1x?3
?
?
x?3
??
x?4
?
x?6x?5
说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。 4. 解：设a?9999
1111
，则A?
2
a?1a?1
42
，B?
a?1a?1
43
2
?A?B?
a?1a?1
2
?
a?1a?1
23
?
a?a?a?1?a?2a?1
(a?1)(a?1)
2
3
32
?
a(a?1)
2
3
(a?1)(a?1)
?0 ?A?B
5. 证明：?a?b?c?0
?(a?b?c)2?0，即a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac?0
又?
a?b?c?
abc
??
16(a
2
?b?c) ?abc?8
22
?a、b、c均不为零
?a?b?c?0
2
2
2
?
1a
?
1b
?
1c
?0
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