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激光原理与技术6
激光原理与技术
西安电子科技大学 技术物理学院 刘继芳
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
?
——开腔模场分布的波动光学分析 研究方法采用波动光学理论
光的衍射概念和计算方法
?
采用腔型
开腔的典型代表：对称共焦腔
R1=L
?
R2=L
F L
一、对称共焦腔及其意义
实共焦腔： R1 ? 0, R2 ? 0 对称共焦腔：R1 ? R2 ? L
?
R1 R2 ? ? L 两腔镜焦点重合且在腔内 2 2 g1 ? 0, g2 ? 0, g1g2 ? 0 临界腔！
?
无几何偏折损耗！(衍射损耗仍存在)
意义：
? ?
惟一可以给出自再现模解析解的腔型
其他腔型模的解可等效为共焦腔处理
F L
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
二、Fox and Li开腔模概念(1961)
平面光波在平行平面腔中的来回反射，不计几何偏折损耗(大NF 腔) 时，等价于通过周期分布“孔拦”的传输。用数值迭代方法 计 算证实：自再现模存在。(3000次以后不再发生变化)
等价
L L L
?
u1 u2 u3 uq uq+1
uq ?1 ? ?uq ?复常数
开腔中的自再现模场分布=衍射为零时的自洽场分布
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
三、自再现模的本征方程(对称共焦腔)
1. 求自再现模本征方程的物理基础 ——菲涅耳—基尔霍夫方程
已知衍射屏xOy上场分布u(x,y)，根据惠更斯—菲涅耳原理：
e ?ikr 1 ? cos ? u ?( x ?, y ?) ? ?? u ( x, y ) dxdy S ? r 2 i
子波强度 球面波倾斜因子
r：pp?两点间距，
1 ? cos? 倾斜因子， 2
x r
x? p?
?
?：r与腔轴之间夹角
p?
y
?
y?
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 2. 再现模本征方程
若谐振腔满足：
?
L>>a，a >>?，有： cos ? ? 1 i e ?ikr u ?( x ?, y ?) ? ?? u ( x, y ) dxdy S ? L
1 ? cos ? ?1 2
?
自洽条件：u?( x?, y?) ? ?u ( x, y )
S
则有：
?u( x?, y?) ? ?? u( x, y) K ( x, y; x?, y?)dxdy
x
?
只有对称共焦腔：当xOy面在M1处，当x?O?y?面在M2处满足！ x?
F L z y?
y
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
分析如下：
?
这是关于u的积分方程，?求解：u(x,y)[ u?(x?,y?) ]横 向场分布的本征方程。 其解u为本征函数(横模)，?为本征值。 本征方程积分核 K ( x, y; x?, y?) ? e?ikr ，为复对称核。 腔结构对称，积分核对称！ ?L
i
? ?
积分方程理论：(1) 对称核：本征函数一定是正交归一函数系 腔内任意场分布=?ti本征函数i (2) 复核：本征函数、本征值一定是复值
?
本征函数u正交归一化的函数系，加下标： u? um 。 um对应本征值? ? ?m
§2.3 对称共焦腔的自再现模
行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
? 本征方程可改写为： 因此：
? m u m ( x?, y ?) ? ?? u m ( x, y) K ( x, y; x?, y ?)dxdy m ? 0,1,2?
S
?
um和?m为复数，故有：
um ( x, y) ? um ( x, y) e
?
m
i? m ( x , y )
? m ? ? m ei? 意义？
m
?
? ? ?um? ? m e i? u m ∵ um
?
可见：?m对本征模在腔内渡越时产生两方面影响： (1) ??m??引起振幅变化：损耗 ? (2) e i?m?产生一个附加相移
?
自再现模平均单程损耗因子：
?D ?
? um ? um um
2
2
2
?1? ?m
2
不同横模损耗不同！
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
?
自再现模腔内单程渡越相移：
? ? ?k m L ? Δ? m ?? m ? arg( u?) ? arg( u) ? arg(? m ) ? ? m
几何相移
?
附加相移
对称共焦腔的驻波条件(频率条件)：
2π? m ? ?? m ? ?k m L ? Δ? m ? ?qπ ? k ? ? m ?
c ? Δ?m ? ?m ? ?q ? ? 2L ? π ?
纵模指数
?
c
?
横模指数
可见：对于横模指数为m的横模，可以有不同的振荡频率！ 记为TEMm(n)q模
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
四、对称共焦腔自再现模在镜面上场分布
1. 自再现模本征方程解
i ?ikr K ( x, y; x?, y?) ? e ?L
r—关键 —
对称共焦腔最简单
任意腔可等效为对称共焦腔
已知M1面(球面)上场分布u，求M2面上场分布！ 相应间距： r ? P ? 1P 1 ? PP? ? ? 1 ? ?2 由?OO?P和?OO?P? ： x O P? P1
1
( L ? ?1 )2 ? L2 ? ( x 2 ? y 2 )
?2 x? ? P? P 1
O? z L
( L ? ?2 )2 ? L2 ? ( x?2 ? y?2 )
?1 ?
x ?y 2L
2
2
?2 ?
x? ? y? 2L
2
2
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
可求得r： r ? [( x ? x?)2 ? ( y ? y?)2 ? L2 ]1 / 2 ? ?1 ? ?2
? ( x ? x?) ( y ? y?) ? ? L ?1 ? ? ? 2 2 L L ? ?
2
2 1/ 2
? ?1 ? ?2
? ( x ? x?)2 ? ( y ? y?)2 ? ? L ?1 ? ? ? ?1 ? ?2 2 2L ? ? x 2 ? y 2 x ? 2 ? y ? 2 xx ? ? yy ? ? L? ? ? ? ?1 ? ?2 2L 2L L
xx? ? yy? ? L? L
代入本征方程有： ? mum ( x?, y?) ?
x?2 ? y?2 x2 ? y2 ?2 ? ?1 ? 2L 2L
i ?ikL e ?? um ( x, y )e S ?L
ik
xx?? yy? L
dxdy
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
? mum ( x?, y?) ? 本征方程也可改写为：
x? 其中： f x ? , ?L
i ?ikL i2π( f x? f y) e ?? um ( x, y )e x y dxdy S ?L y? fy ? ?L
可见：um ( x, y) ? um ( x?, y?) 构成傅里叶变换对
? mum ( x?, y?) ? cFT?um ( x, y)? 物场与频谱场分布自洽
① 若um(x?,y?)可分离变量?
求解大为简化
um ( x?, y?) ? umn ( x?, y?) ? um ( x?)un ( y?)
? m ? ? mn ? ? m? n
② 若S有限大——本征方程可精确求解； 若S很大——本征方程需近似求解。
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
③ 实际上，S的大小并不由腔镜镜面尺寸决定，很多情况下是由腔 内增益介质横截面尺寸决定(尺寸很小) ④ 腔镜横截面(介质横截面)形状不同，分离变量方法不同。
方形——直角坐标系下分离变量
圆形——极坐标系下分离变量
2. 方镜对称共焦腔镜面上场分布—厄米高斯函数
直角坐标系下分离变量 u mn ( x, y) ? u m ( x)u n ( y) y
2a 2a x 腔镜反射面在xOy面投影 腔镜反射面形状
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
分离变量后的本征方程：
ik ( ? ? ) ik ? ? ? m? n u m ( x )u n ( y ) ? e ? ? u m ( x)u n ( y )e L L dxdy ? a 2 πL 2 a 2 令：X ? x 2πN / a, Y ? y 2πN / a N ? a k /( 2πL) ? 菲涅耳数 ?L 2 πN i ?ikL i ( XX ? ?YY ? ) ? ? ? ? U ( X ) U ( Y ) ? e U ( X ) U ( Y ) e dXdY 有： m n m n n ? ?? 2 πN 2π m ?ikL a xx? yy ?
令： 则：
? m ? n ? ? m? n /ie ?ikL
1 U m ( X ?) ? 2π? m
?
2 πN
? 2 πN
U m ( X )eiXX ?dX
U n (Y ?) ?
1 2π? n
?
2 πN
? 2 πN
U n (Y )eiYY ?dY
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
当N较大时，积分方程有如下解(用近似解代替精确解)：
Um ( X ) ? e
? X2 2
Hm ( X )
U n (Y ) ? e
?
Y2 2
H n (Y )
其中：Hm、Hn为厄米多项式：
H0 (? ) ? 1 H2 (? ) ? 4? 2 ? 2 H4 (? ) ? 16? 4 ? 48? 2 ? 12
H1 (? ) ? 2?
H3 (? ) ? 8? 3 ? 12?
d m ?? 2 H m (? ) ? (?1) e ? m e d?
m ?2
(?1) k m! ?? (2? ) m ? 2 k k ? 0 k!( m ? 2k )!
?m? ?2? ? ?
m ?m? ? 整数部分 ?2? 2 ? ?
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
2 2 2 2 2 X x π x a x 2 由： ? 2 ? 2πN? 2 ? 2π ? x ? 2 2 2a ?L ? L 2a w0s ?L 其中： w0 s ?
π
得： X ?
2
x w0s
Y? 2 第一文库网 y w0s
? x2 ? y2
2 w0 s
? x ? ? x ? 镜面上场分布： u ( x, y ) ? CmnH m ? 2 ? ? ? Hn ? 2 e ? ? ? w0s ? ? w0s ? ?
? mn ? e
π ? i[ kL ? ( m ? n ?1) ] 2
m=0，1，2? n=0，1，2?
镜面上场分布为厄米高斯函数(分布)！相应光束称为厄米高斯光束
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
3. 圆镜对称共焦腔镜面上场分布—拉盖尔高斯函数
取极坐标系 (?，?，z)
分离变量
umn ( ? ,? ) ? um (? )un ( ? )
? ?
得镜面上场分布： umn ( ? ,? ) ? Cmn ? ? ? 2 其中
：w0 s ?
?L
π
? ? ? ? ?e L 2 n? 2 ? ? w0s ? ? w0s ?
2
? ? m?
?
?2
2 w0 s
e?im?
， Lm 为缔合拉盖尔多项式 n (? ) m=0，1，2? n=0，1，2?
? mn ? e
π ?i[ kL ? ( m ? 2 n ?1) ] 2
镜面上场分布为拉盖尔高斯函数(分布)！相应光束称为拉盖尔高斯光束
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
缔合拉盖尔多项式： Lm 0 (? ) ? 1
Lm 1 (? ) ? 1 ? m ? ?
L (? ) ? ?
m n k ?0
n
1 Lm ( ? ) ? [(1 ? m)( 2 ? m) ? 2(2 ? m)? ? ? 2 ] 2 2 (n ? m)!(?? )k
(m ? k )! k!(n ? k )! n ? 0,1,2?
综合(方和圆)讨论：
(1) 方：? mn ? e
π ?i[ kL ? ( m ? n ?1) ] 2
圆： ? mn ? e
π ?i[ kL ? ( m ? 2 n ?1) ] 2
均为纯虚数！?mn描述损耗，说明衍射损耗等于零！
相当于菲涅耳数NF??，亦即镜面尺寸a??的结果。
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
(2) 镜面上场分布相位与x，y无关。 ——镜面是本征模场分布的等相面！ (3) 用TEMmnq表示本征模。 m —x ? 方向场零点数目 n — y ? 方向场零点数目
m, n—横模指数 q — 纵模指数
q — z 方向半波长数目
(4) m=0，n=0的本征模称为基模，记为TEM00。 方： u00 ( x, y) ? C00e
? ? ? ?
? x2 ? y2
2 w0s
圆： ?e u00 ( ? ,? ) ? C00
?
?2
2 w0s
损耗最低，起振容易。称为优势振荡模
振幅分布为高斯函数——基模高斯光束 1 2 2 当 x 2 ? y 2 ? w0s 或 ? 2 ? w0s 时，振幅减小为中心的
e
圆形光斑，中心最亮，向外逐渐减弱。w0s称为光斑半径
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
(5) 镜面光斑图样
? x2 ? y2
2 w0s
TEM00模
m=0，n=0
2 x 2 ? y 2 ? ? 2 ? w0 s
方： u00 ( x, y) ? C00e y
?e 圆：u00 ( ? ,? ) ? C00
?
?2
2 w0s
?
x
?
u00 ( x, y) ? u00 (0,0) / e
w0s ?
?L
π
y
x 镜面上00模光斑半径
?
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 TEM10模 方：
u10 ( x, y) ? C10 xe
? x ?y
2 w0s 2 2
圆：
? ?e u10 ( ? ,? ) ? C10
?
?2
2 w0s
cos?
m=1，n=0
x方向：1根零线 y方向：无零线 y
?方向：1根零线 ?方向：无零线 ? ?
x
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 TEM01模
方： 圆：
? x ?y
2 w0s 2 2
u 01 ( x, y) ? C01 ye
m=0，n=1
? (1 ? 2 u 01 ( ? ,? ) ? C01
?
w
2 2 0s
?
?2
2 w0s
)e
x方向：无零线 y方向：1根零线 y
?方向：无零线 ?方向： 1根零线 ? ?
x
与TEM10模相同
与TEM10模不同
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
(6) 共振(纵模)频率 方：? mn ?
e
π ?i[ kL ? ( m ? n ?1) ] 2 π ?i[ kL ? ( m ? 2 n ?1) ] 2
圆：? mn ? e
π 2
?? mn ? ?[kL ? (m ? n ? 1) ]
?? mn ? ?[kL ? (m ? 2n ? 1) ]
k? 2 π? c
π 2
共振(驻波)条件：?? mn ? ?qπ
π ? [kL ? (m ? n ? 1) ] ? ?qπ 2
? mnq ?
c [q ? (m ? n ? 1) / 2] 2L
π ? [kL ? (m ? 2n ? 1) ] ? ?qπ 2 c ? mnq ? [q ? (m ? 2n ? 1) / 2] 2L
纵模频率间隔： Δ? q ? ? q ?1 ?? q ?
c 2L
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
五、腔内(外)行波场
我们得到了对称共焦腔镜面上的场分布。实际上，上述光波场 在腔内(外)是传播的！腔内(外)任一参考面上的光波场？
由镜面上的场分布+菲涅耳—基尔霍夫积分求出任意z面上的场 分布，即为行波场。 umn(x,y) umn(x,y,z) z
L RP TEMmn： m?x，? n?y，?
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
1. 方型镜
umn ( x, y, z ) ?
?2
1
m?n
m! n!
?
1/ 2
? 2x ? ? 2 y ? w0 ? ? ? Hm ? ?Hn ? ? w ( z ) w ( z ) ?L w( z ) ? ? ? ? 2
2
?e
x2 ? y2 ? ik 2R( z)
?e
?
x2 ? y2 w (z)
?e
? z? ? i ? kz ? ( m ? n ?1) tan ?1 ? f? ?
基模：TEM00(m=0, n=0)厄米—高斯光束
u00 ( x, y, z ) ?
w0 ?e ?L w( z ) ?
2
2
x2 ? y2 ? ik 2R( z)
?e
?
x2 ? y2 w (z)
2
?e
? ?1 z ? ?i ? ? kz ? tan f ? ? ? ?
w0 ? ? ?e ?L w( z )
? ik
x2 ? y2 ~( z) 2q
?e
? ?1 z ? ?i ? ? kz ? tan f ? ? ? ?
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
其中：
1 1 ? ——光束复曲率 ? ? i 2 ~ q ( z ) R( z ) πw ( z )
2 R L πw0 ——光束共焦参数 f ? ? ? 2 2 ?
w0 ?
?f
π
?
?L
2π
?
w0s 2
条件：
f2 R( z ) ? z ? ——光束等相面曲率半径 z 1/ 2 ? ? z ?2 ? w( z ) ? w0 ?1 ? ? ?f? ? ? ——光斑半径 ? ?L/2 ? ? ? ? ?
? O
(1) z坐标原点选在对称共焦腔中心处
L
L/2 z
(2) 行波场相位参考点也选在腔中心处。即z=0，?=0
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
2. 圆型镜
m ?? TEMmn： n ??
——开腔模场分布的波动光学分析
m
umn (? , ? , z ) ? u0 ?e
w0 ? ? ? m? ? ? ? ? 2 Ln ? 2 2 ? e ? ? ? ? w( z ) ? w( z ) ? ? w ( z) ?
2
?
?2
w 2 ( z ) ? im?
e
? ? ? ?2 ? ? ? ? ( m ? 2 n ?1) tan ?1 z ? ?i ? k ? z ? ? f? ? ? ? 2R( z) ? ?
w0 ? ? ? m? ? ? ? ? ? u0 2 Ln ? 2 2 ? e ? ? ? ? w( z ) ? w( z ) ? ? w ( z) ?
2
m
? z? ?2 ? i ? kz ? ( m ? 2 n ?1) tan ?1 ? ? ik ~ f? 2 q ( z ) ? im? ?
e
e
其中：~
1 , f , w0 , w( z ), R( z ) 与
方型镜意义相同。 q ( z)
基模：TEM00(m=0, n=0)拉盖尔—高斯光束
u 00 (? , ? , z ) ? u 0
w0 e w( z )
? ik ~ 2q ( z )
?2
e
? ?1 z ? ?i ? ? kz ? tan f ? ? ? ?
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
五、基模高斯光束特性
1. 基模高斯光束参量
基模光束可统一表示为： E ( x, y, z ) ? E0 ( z )e
等相面为球面，所以为球面波。 描述光束的基本参量为： ~
1 1 ? ? ?i 2 —复曲率 q ( z ) R( z ) πw ( z )
r2 ? ik ~ 2q ( z )
e
? ?1 z ? ?i ? ? kz ? tan f ? ? ? ?
w0 ?
?f
π
f2 R( z ) ? z ? z ? ? w( z ) ? w0 ?1 ? ? ? ? ? ? 2 πw0 f ?
———等相面曲率半径
z f ? ? ? ?
2 1/ 2
? ? —光斑半径 ? ?
?
———光束共焦参数
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 2. 振幅特性
z处基模光束振幅为：
? r2 2 w2 ( z )
A( z ) ? E0 ( z )e
A[r ? w( z )] ? E0 ( z )/e w(z)—z处光斑半径
? ? z ?2 ? 由 w( z ) ? w0 ?1 ? ? ? ? ?f? ? ? ? ? ? ?
1/ 2
w2 ( z ) z 2 ? 2 ? 1 关于z的双曲方程 2 w0 f
可见：w(z)随z变化，并且有： w(0)=w0取最小值—束腰 束腰半径：w0 ?
?f
π
w0
O L
w(z) w0s z
w0s ? 2w0
z ? L/2? f
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 3. 方向特性—发散角
xOz面或yOz为双曲线：
?00
L
z
双曲线的两渐近线的夹角2?00称为高斯光束的远场发散角 由： ? 00 ? lim dw( z ) ? ? z ?? π w0 dz
得： 2? 00 ?
2? πw0
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析 4. 变心特性—变心球面波
相位因子： ? 2f
?1
?
O
?
e
? r2 ? ?ik ? z ? ? ? 2R( z) ? ? ?
球面波
?e
i tan
z f
球心
z
超前的附加相位因子
f2 由： R( z ) ? z ? z
( R ( z ) ? z！不同于球心不变的球面波了) R(z)
2f
可见： z=0，R(0)??，平面波 z=f，R(f)=2f=L=R，球面波(心在另一镜处) z>L/2，R(z)>L=R，球面波(心向原点靠近) z?? ，R(0)??，球面波(心在原点处)
?f
f ?2f
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
5. 附加相移
根据相位因子： 附加相移：
e
? r2 ? ?ik ? z ? ? 2 R ( z ) ? ? ? ?
?e
i tan ?1
z f
z f 可见： z=0，tan?10=0，附加相移??=0 Δ? ? tan ?1
z=f=R/2，tan?11=?/4，附加相移??=?/4 z=?f=? R/2，tan?1?1 = ??/4，附加相移??= ??/4 从镜1到镜2一个单程相移?/2！
tan?1z/f ?/2 ?/4
f
z
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
6. 谐振频率
单程相移(?2=r2=0)：
? ?1 z2 ?1 z1 ? ?
k ( z2 ? z1 ) ? (m ? n ? 1)? tan ? tan ? πq ? ? ? π f πf ? ? L 4 ? 4 z ?1 2 ?1 z1 ? ? k ( z2 ? z1 ) ? (m ? 2n ? 1)? tan ? tan ? πq ? ? f f ? ?
z1
O L
?
z z2
? mnq ?
c ? 1 ? q ? ( m ? n ? 1 ) ? 方镜 2L ? 2 ? ?
? mnq ?
c ? 1 ? 圆镜 q ? ( m ? 2 n ? 1 ) ? 2L ? 2 ? ?
? 00q ?
c ? 1? q ? 2L ? 2? ? ?
Δ? q ?
c 2L
Δ? m ? Δ? n ? 4
c 2L
§2.3 对称共焦腔的自再现模行波场
——开腔模场分布的波动光学分析
6. 模体积
基模体积(m=n=0)：
V00 ? 1 1 ? ?L ? 2 ? Lπw0 Lπ ? s? ? 2 2 ? π ? ?
2
w0s
L2? ? 2 高阶模体积：
Vmn ?
L
1 2 2 Lπwm w s ns 2 1 2 ? Lπ (2m ? 1)( 2n ? 1) w0 s 2
wms ? 2m ? 1w0s
wns ? 2n ? 1w0s
? (2m ? 1)(2n ? 1) ? V00
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