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高中三角函数期末精讲精练
三角函数期末精讲精练
三角函数精讲
一、基本概念、定义：
1. 角的概念推广后，包括、、，与α终边相同的角表示为。 终边角： x轴上 y轴上 第一象限第二象限 第二四象限直线y＝x上 2. 弧度制：把叫1弧度的角。
公式：|α|＝— 换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L＝ ＝ ，面积S＝ ＝ 3. 任意角的三角函数：
①定义：角α终边上任意一点P(x，y)，则r＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、。
②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作 轴的垂线，垂足为M，则 A(1,0)作，交T，则。 ③同角三角函数关系式：
平方关系： 商数关系： 倒数关系：
（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆） 1．和、差角公式
sin(???)? cos(???)?
tan(???)?
2．二倍角公式
sin2?? cos2?? ＝ ＝ tan2?? 倍角公式变形：降幂公式
sin?cos?? sin2?? co2s??
3．半角公式(书P45～46)
sin
?
2
??
1?cos???cos???cos?sin?1?cos?
, cos??, tan?? ??22221?cos?1?cos?sin?
2tan
?2
1?tan2
??
；tan??2
2tan1?tan
?2
4．万能公式： sin??
1?tan
?2
；cos??
1?tan
2
?2
．
5．积化和差公式(书P46～47)
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11
sin?cos??[sin(???)?sin(???)]； cos?sin??[sin(???)?sin(???)]；
2211
cos?cos??[cos(???)?cos(???)]； sin?sin???[cos(???)?cos(???)]．
22
6．和差化积公式(书P46～47)
????????????
； sin??sin??2cos； sinsin??sin??2sincos
2222
????????????
； cos??cos???2sin． cos??cos??2coscossin
2222
应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明 基本技巧：
①1的妙用：1＝ ＝ ＝
②变角： (x+y)＋(x－y)＝ (x+y)＋(x－y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③变名：切化弦；弦化切
④化一：a sinx＋b cosx＝
1、 作图：五点法，依次取ωx＋ψ＝ 2、 周期T＝
3、 单调区间：A?ω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx＋ψ≤
A?ω
减区间：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 4、最大值：A>0时，当ωx＋ψ＝ 时，y取最大值A。 最小值：A>0时，当ωx＋ψ＝ 时，y取最小值－A。
5、概念：振幅T＝；频率f＝；相位。 6、三角变换： (A>0，ω>0)
将y＝sinx的图像—————————>y＝sin(x＋ψ) ——————————>y＝sin(ωx＋ψ)
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——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)
或者： 将y＝sinx的图像—————————>y＝sin(ωx) —————————>y＝sin(ωx＋ψ) ——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)
7、联系： y＝tan((ωx＋ψ) (ω>0)的周期是T＝ ，单调 区间是解不等式 。
五、反三角定义：
1.在闭区间 上，符合条件sinx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦，记作：x＝ 在闭区间 上，符合条件cosx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦，记作：x＝ 在开区间 上，符合条件tanx＝a的角x叫a的反正切，记作：x＝ 2.反三角的三角函数、三角函数的反三角：
例：sin(arcsinx)＝ ，其中x∈[-1,1]；arcsin（sinx）＝ ，其中x∈[－
??
，]； 22
六、数学思想方法： 数形结合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ；
整体思想，例如：研究函数y＝Asin(ωx＋ψ)的图像和性质可以把 看成整体
三角函数精练
A
α
⒈ 已知α是钝角，那么 是 （ ）
2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一与第二象限角 D．不小于直角的正角
2． 角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是 （ ）
3 434A． B． C．－ D．－ 5555
3．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )
π3π5πππ5πA．( ∪(π， B．( )∪(π，
244424π3π5π3πππ3πC．( ， )∪， D．( )∪( ，π)
2442424
34
4．若sinx= － cosx = ，则角2x的终边位置在 ( )
55
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2π
5．若4π＜α＜6π，且α与－ 终边相同，则α= ．
3
6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．
7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为 8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)?sin(sinθ)的符号为什么？
9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
B
1．sin600°的值是 （ ）
11A B．－ C． D．－
2222ππ
2． α)sinα）的化简结果为 （ ）
44
11
A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α
22
1
3．已知x∈［0，π］，则tanx的值是 （ ）
5
第 3 页 共 8 页
34434A．－ B．－ C．± D或－43343
11
4．已知tanα=－，则= ．
3 2sinαcosα+cosα5．
的值为 ．
cos10°－1－cos170°
1+2sinαcosα1+ tanα
6． = cosα－sinα 1－tanα
2sinθ+cosθ
7．已知－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．
sinθ－3cosθ
8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．
C.
π34
1．已知0＜αβ＜π，sinα=，cos(α+β)=－sinβ等于 （ ）
255
242424
A．0 B．0或 C． D．0或－
252525
sin7°+cos15°sin8°2． 的值等于 （ ）
cos7°－sin15°sin8°
2－3 2+3
A．2+ B． C．2－ D．
22
3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）
π5ππ5ππ2πA． B． C． D． 或666633
π1
4．若α是锐角，且sin(α－cosα的值是 ．
63
π2π3π
5．coscos
777
11
6．已知tanθtanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．
23
π3π44
7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（2π），求cos2α、
5522
cos2β的值．
tanα11
8． 已知sin(α+β)= sin(π+α－β)= ．
23tanβ
D
1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
6 6 2 2 A． B － C． － D．
22222 2
2．a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ）
22
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
1+sin2θ-cos2θ
3．
1+sin2θ+cos2θ
4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β．
ACAC
5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan3 tantan ．
2222
22
6．化简sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B)． 7 化简sin50°3 tan10°)．
8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．
E
1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为 （ ）
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1－2sin10°cos10°
ππππ
A．{x｜－＜x B．{x｜－x＜
3366
ππππ
C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+k∈Z} D．{x｜2kπ－x＜2kπ+，k∈Z}
3366π
2．如果α
http://www.wenku1.com/news/55D4C7C06FF3FBE2.html 、βπ），且tanα＜cotβ，那么必有 （ ）2
3π3π
A．α＜β B． β＜α C． α+β＜ D． α+β＞
22
3．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）
A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x 4．下列命题中正确的是 （ ）
A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ
ππ
B．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－2kπ+），k∈Z
22
1－cos2x
C．函数y=的最小正周期是2π
sin2x
kππ
D．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=k∈Z
24
xx
5．函数2π，2π）内的递增区间是 ．
2266
6．y=sinx+cosx的周期为
ππ
7．比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4； (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）．
42
kπ
8．设f(x)=sin(x+) (k≠0) ．
53
(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少
有一个M与m．
F. 1
1．函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是 （ ）
2
ππ
A．θ=2kπ+ B．θ=kπ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)
22
π
2．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图
3象对应的解析式为 （ ）
ππ
A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)
33C．y=sin(－2x+
2π2π
) D． y=sin(－2x－) 33
3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，
那么f(x)可以写成 （ ）
A．sin(1+x) B． sin(－1－x) C．sin(x－1) D． sin(1－x) 1π
4．y=tan(－)在一个周期内的图象是 （ ）
23
?
O
5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积
是 ． 6．将y=sin(3x－
ππ
的图象向（左、右） 个单位可得 63
π4π11
7．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=x= 若A
9292
π
＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求该函数的解析表达式．
2
8．已知函数y=3 sinx+cosx，x∈R． (1)当y取得最大值时，求自变量x
（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
G 1．函数y=A1
的最大值是 （ ）
2+sinx+cosx
2 2 2 2 －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－ 2222
2．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为 （ ） A．7，5 B． 7，－
1111
C． 5，－ D． 7，－5 22
πsinx+1
3．当0≤x≤时，函数f(x)= 的 （ ）
2 cosx+1
1
A．最大值为2，最小值为 B．最大值为2，最小值为0
2C．最大值为2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值为0
π
4．已知关于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜a的取值范围是（ ）
25
A．［－1，1］ B．（－1，1） C．［－1，0］ D．
45．要使sinα3 cosα=
4m－6
有意义，则m的取值范围是 ． 4－m
π
6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在区间［0，］上的最大值为2 ，则ω= ．
37．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，
π
］时函数y的最大值． 3
第 6 页 共 8 页
8．已知函数f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a＞0，求a，b的值．
π
9．已知函数f(x)=2cos23 sin2x+a，若x∈［0，］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范围．
2
H
1．△ABC中，3 =3 tanAtanB，sinAcosA=
3
（ ） 4
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形或直角三角形
2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 （ ） A．120° B．150° C．60° D．90°
3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= ．
5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．
6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=53 ，求c的长度．
7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小． 8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2， B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B
点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最
大面积．
三角函数答案
16π
A1． A 2． B 3． B 4． D 5． 6．一、二
37．{2kπ+
π3π
＜x＜2kπ+π或2kπx＜2kπ+2π ，k∈Z＝ 8．负 9． 2cm2． 22
π107
B1． D 2． B 3． B 4． 5． 1 6． 略 7 8353
C1． C 2． C 3． A 4．2
71
7． cos2α=－cos2β=－1 8．
255
－11
5． 6．略 68
D1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2（A＋B）．
7. 1 8 .略．
E1． C 2． C 3． B 4． D 5． [－ 7．（1）sin4 ＜sin3＜ sin2 （2）cos2θ＜sin2θ＜tan2θ
2π10π8．（1）M=1，m=－1，T= k≠0）． （2）k=32．
k | k |5
π
F1． B 2． D 3． D 4． A 5． 4 π 6．左，
3ππ, π) 6． 22
6
第 7 页 共 8 页
πππ1
7． y= sin(3x+) 8．（1）{x｜x=+2kπ，k∈Z｝； （2）将y=sinx的图象向左平移2636
数y=sin(x+的图象．
π
6
π
）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+6
π3π
9．（1）最大温差20℃； （2）y=10sin(x+20，x∈[6，14]．
84
37
G1． B 2． D 3． A 4． A 5． －1≤m≤ 6．
3
4
7．1
2+2 8．a=2, b=－2 9．－2＜a＜－1 H1． A 2． A 3． B 4． 12
13 5． π6 6．8． 设∠AOB=θ，θ=
5π6时，S53
最大值 =2+4
第 8 页 共 8 页
21 61 7． π3
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