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相似三角形的判定定理及练习
(一)相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的
应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC∽△DEF.
B
E
F
D
A
判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。 （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？ （2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．
强调：
①有平行线时，用预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由
.
例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB
强调：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD． ④补充射影定理。
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形
B
C
E
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
A
E
1
B
DC
B
A
4
D
E
DC
A
B
C
A
EDE
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
B
C
二、例题分析
1、下列说法不正确的是（ ）
A、两对应角相等的三角形是相似三角形； B、两对应边成比例的三角形是相似三角形； C、三边对应成比例的三角形是相似三角形； D、以上有两个说法是正确。 A 2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ）
D A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 E
3、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△
ACP的有（ ） A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C
、AC?AP D、PC?AC
ABACBCAB
C
4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；ADAB
?③；其中正确的有 （ ） AEAC
A、3个 B、2个 C、1个 D、5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是
；
7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。
8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = _________cm
9、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
C
10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=
∠BAD
求证：△DBE∽△ABC
11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD A
D
CB
12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
A
D
E13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、
CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE?CG；（2）AN?DN?CN?MN. 14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF
B
F
C
15、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。
△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分别以BC、CD为边向外作△DCFF
，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF． （1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．
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