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罗尔(Rolle)中值定理的一个应用
摘 要 罗尔中值定理是一个重要的微分学基本定理，它揭示了可导函数的极值点的本质特合理地利用它，则可方便地证明某些恒等式。
关键词 罗尔中值定理 极值 极值点 可导函数 恒等式
中图分类号：O172 文献标识码：A
罗尔中值定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理统称为微分中值定理。其中罗尔中值定理是微分学基本定理中的一个重要的定理，它也是拉格朗日中值定理的一个特殊形式。它的几何意义在于：若函数在某区间上满足罗尔定理的三个条件，则在该区间内至少存在一点，函数在该点的切线必与X轴平行。正是基于这一点，在教学中人们一般主要介绍它在判别某个方程是否有解上的应用。但在辅导学生作考研准备时发现，理解中值定理的本质，利用它也可以巧妙地来证明一些特殊的恒等式。现介绍如下：
1 罗尔中值定理
这三个例题均为某大学的考研题。从例3、例4及例5可以看出，若能深刻理解罗尔中值定理的本质特征，并能巧妙地建立辅助函数（这也是解决这类问题的关键所在），就能利用它方便地证明一些特殊的恒等式。当然，这实质上也还是方程根的存在性问题，只是表示方法有所不同而已。
注释
① 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）.高等教育出版社：122.
②③刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）（第三版）.高等教育出版社：212，213.
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