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从一对作用力与反作用力做功谈起
摘 要：通过讨论作用力与反作用力做功及其代数和在不同的参考系中的情况，可以得出力学体系保守力的判据。势能属于相互作用的保守物体体系的共有性。保守力做功等于势能的减少的一般提法是不准确的，一个保守力做的功，在一般情况下并不等于势能的减少，一对保守力做的功才等于势能的减少。本文通过对功能关系和参考系变换的讨论，为加深对力学概念和规律的理解，提供了一种重要的方法。
关键词：作用力 反作用力 参考系 保守力
功能关系
力学中的许多实际问题，需要从成对相互作用力做功考虑。在功的定义dA=F·ds中质点的位移ds与参考系有关，取不同的参考系，作用在质点上的力F所做的功就可能不同。如果单方面考虑某力做功，而由于功的计算对参考系是任意的，那么不同的参考系就可能会计算出不同的功。因此，有时会得出荒谬的结论，并且有些实际问题的处理难以进行。
作用力、反作用力做功与参考系的选择有关，一对作用力与反作用力所做功的代数和与参考系的选择无关，也就是说两质点间一对作用力与反作用力所做的总功与参考系的选择无关，而是等于其中一个质点受的力沿着该质点相对另一质点所移动的路径上的功。势能属于相互作用的保守力物体的共有性。保守力做功等于势能的减少的一般提法是不准确的，一个保守力做的功，在一般情况下并不等于势能的减少，一对保守力所做的总功才等于势能的减少。通过功能之间的转换和参考系变换的讨论，为我们加深对力学概念和规律的理解，提供了一种重要的方法。
一、作用力与反作用力做功与参考系的选取
在力学中，如果研究的对象不是一个物体，而是两个或两个以上的物体组成的系统，总会遇到一对作用力与反作用力或多对作用力与反作用力问题。在解决这些问题时，经常涉及作用力与反作用力做功问题。根据牛顿第三定律可知，作用力与反作用力总是同时在同一条直线上，大小相等、方向相反；而作用力与反作用力做功却不总是大小相等、正负相反，其功的代数和也不总是为零。那么，作用力与反作用力做功及其代数和与参考系的选取有什么关系呢？
1.作用力、反作用力做功与参考系的选取有关
某一质点在外力F的作用下发生无限小的位移dr，则该力所做元功 dA=F·dr。在质点组中任选两个质点1和2，假设质点1受质点2的作用力为F12 ，反作用力为F21，即F12 = - F21。有两个参考系，其中K系为不动参考系，K'系相对于K系运动。质点1和质点2在K系中的位置矢量为r1和r2；在K'系中的位置矢量为r1'和r2'；K'系的原点O'相对于K系的位置矢量为ro'。
质点1在F12作用下在K系中发生位移dr1 ，则其元功为dA1 = F12·dr1 （1）
质点2在F21作用下在K系中发生位移dr2，则其元功为dA2 = F21·dr2 （2）
且dA1= F12·dr1 ≠F12·dr1'
dA2= F21·dr2≠F21·dr2'
即作用力和反作用力在K 系中所做的功与在K'系中所做的功不同。由此可知，作用力和反作用力做功与参考系的选取是有关的。
2.作用力、反作用力做功的代数和与参考系的选取无关
（1）在K 系中，作用力、反作用力做功的代数和
由（1） 、（2） 式和作用力、反作用力做功的代数和可知，dA=dA1 + dA2 =F12·dr1 + F21·dr2
由于F12=- F21
因此dA=F12·dr1-F12·dr2=F12·d（ r1-r2）
式中的r1 - r2是质点1 相对于质点2 的位置矢量，令r = r1 - r2 ，则dr=d（ r1 -r2），dr表示质点1 相对于质点2 的元位移。 则
dA= F12·dr（3）
（2）在K'系中，作用力、反作用力做功的代数和
由于dA'= F12·dr1'+ F21·dr2'=F12·dr1'- F12·dr2'= F12·d （r1'- r2'）
又r1'- r2'=r1 - r2=r
所以dA'=F12·dr（4）
比较（3） 、（4） 式有 dA=dA'
由以上分析可得出结论：作用力、反作用力做功的代数和与参考系的选取无关；一对相互作用力的元功的代数和， 等于作用于其中一个质点上的力与该质点相对另一质点的元位移的点积；计算一对相互作用力所做的总功，只需把其中一个质点选作参照系， 视它为静止， 它受到的作用力所做的功必定为零， 问题归为反作用力对另一质点所做的功， 从而把计算一对相互作用力的总功转化为计算其中单个力所做的功。换句话说， 一对相互作用力所做的功， 等于作用于其中一个质点上的力在相对位移上所做的功。
（3）进一步讨论
在公式dA = F12·dr 中，令F12=- F21=F， 现将F及dr分别向r 方向及垂直于r 的方向进行分解，对于F而言，由于其方向与r 是共线的，只有r 上的分量Fr=F，即F=Fr0 （ r0 为r 向上的单位矢量）。
对于dr而言，dr 可分解为r 方向上drr1 ，和与r 相垂直的drr2。由于F 只在分量drr1上做功，而drr1 = drr0 ，于是有 dA= F r0·drr0= Fdr。 （5）
即两质点间作用力和反作用力做功的代数和决定于相互作用力和两质点间的相对距离的改变；而其正负应由F 和dr 的正负决定。仅当两质点沿力的方向无相对运动时，作用力与反作用力做功的代数和等于零。
二、利用作用力与反作用力做功来判据保守力
关于单个质点受保守力作用的判据，有三种等效的表述：
一是保守力做功与路径无关； 二是沿任一闭合回路一周保守力作用功为零∮ L ·d= 0 ；
三是保守力满足▽×= 0。
可见，判断力学体系力是否为保守力，不能像单个质点的保守力判据那样只分析某一个力是否为保守力，而应分析一对作用力与反作用力做功，看其是否与两质点相对路径无关，而仅与两质点相对始末位置有关。若是，该对力为保守力；否则，该对力为非保守力。
三、势能属相互作用的保守力物体体系的共有性
每当讲授势能概念时，我们对共有性的说明通常仅停留于指出期间的作用力是相互的，这一解释难以令人信服。作用力既然是相互的， 为什么在计算势能时， 只计物体一方受作用力的功呢？如果是指某一个作用力的功，这个功有可能随参照系的不同而改变。我们知道，势能的增量在数值上应该等于保守力做功的负值， 即
ΔEp = - W保 （6）
式中， W保 应理解为成对保守力做功之和， 即一对保守力做功之和的负值等于势能的增量
ΔEp = - （ W保守作用力+ W保守反作用力）（7）
所以，严格地说， 用保守力做功表述势能的增量，应该用公式（7） ，而不是公式（6） 。
现在， 我们仍然以重力势能为例， 讨论物体和地球对重力势能的共有性问题。根据前面的结论， 物体和地球组成的体系， 相互作用的一对保守力做功之代数和等于作用于物体上的重力在相对位移上所做的功，即可以将地球视为静止， 物体相对于地球发生位移的过程中， 重力所做的功。可见， 通常我们所讲的重力物体所做的功的负值等于重力势能的增量， 实际上是指物体和地球组成的系统， 一对相互作用的保守力的代数和的负值等于系统重力势能的增量。由此说明， 在建立重力势能概念时， 已经把作用保守力和反作用保守力所做的功都已计入。因此， 重力势能属物体和地球组成的体系所共有。
一对作用力与反作用力所做的元功之和与参考系的选取无关是非常重要的概念，因为涉及不同形式的能量之间的转化过程与参考系的选取是无关的，在不同的参考系中应看到相同的结果。所以讨论不同形式的能量之间的转化时，机械功应用一对作用力与反作用力所做的元功之和来度量。
四、成对相互作用非保守力的功在功能关系中的作用
考虑由N个质点组成的质点组， 功与能具有下列关系
Fi · dri + dA非保守力= d（Ek+ Ep ） （8）
式中， Ek与Ep分别表示系统的动能与势能， Fi · dri 为系统外力的功之和，dA非保守力为非保守作用力与反作用力做功之和。上式表明，在惯性系中外力所做的功与系统内部成对非保守力所做的功之和等于系统机械能的增量。
如果外力不做功， 即
Fi · dri = 0（9）
则 dA非保守力= d（ Ek+ Ep） （10）
当d A非保守力 当dA非保守力>0时，系统机械能增加。炮弹爆炸就属于此种情形。虽然许多场合很难找出相互作用的非保守力的具体形式， 但由于dA非保守力与参照系无关， 我们仍然可以合理地把dA非保守力解释为机械能与其他形式能量之间的转化的量度。
由于产生滑动摩擦力的两物体必定有相对位移，并且有相对位移的方向与滑动摩擦力的方向平行的结果。所以相互作用着的静摩擦力做功的代数和必定为零。
上述情况下，作用力与反作用力做功问题的讨论，使我们进一步确信了前面提出的关于作用力与反作用力做功代数和的计算的正确性，特别是当有相互作用的一对或几对物体相对于已选定的参照系都在运动时，此方法能帮助我们迅速而准确地计算。
五、小 结
通过一对作用力与反作用力做功的研究，谈到了作用力、反作用力做功与参考系的选择有关，一对作用力与反作用力所做功的代数和与参考系的选择无关，也就是说两质点间一对作用力与反作用力所做的总功与参考系的选择无关，等于其中一个质点受的力沿着该质点相对另一质点所移动的路径上的功。并且更近一步得出了以下结论：力学体系保守力的判据；势能属于相互作用的保守力物体的共有性；保守力做功等于势能的减少量的一般提法是不准确的，一个保守力做的功，在一般情况下并不等于势能的减少；一对保守力所做的总功才等于势能的减少；功能之间的转换和参考系变换的关系。
参考文献
[1]吴延斌.作用力与反作用力做功与参考系的选取[J].沈阳师范学院报，2000（2）.
[2]李惠玲.关于作用力与反作用力的做功问题[J].物理通报，1997（4）.
[3]漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，1998.
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