第3讲 尾数和余数
一、知识要点
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数，
小学奥数知识讲解3
。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。二、精讲精练
【例题1】 写出除213后余3的全部两位数。
【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。
练习1：
1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？
3.写出除1290后余3的全部三位数。
【例题2】 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？
【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；
（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习2：
1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？
2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？
【例题3】 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6，
备考资料
《小学奥数知识讲解3》(https://www.unjs.com)。（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。
练习3：
1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？
2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
3.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？
【例题4】 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
【思路导航】因为1/7≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习4：
1.把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
【例题5】 555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？
【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。2001÷6=333……3.所以，当商是整数时，余数是4。
练习5：
1.444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
2.当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]
（2）444…4÷74[200个4]
（3）888…8÷7[200个8]
（4）111…1÷7[50个1]