初中几何证明

初中几何证明

初中几何证明

因为ABCD菱形

所以AD=DC 角cdb=角adb

因为AP=AP

所以DCP全等 DAP

所以PC=PA AP=PC 角DCP=角DAP

2因为ABCD菱形

所以DF平行ap

所以角BAP=角F

因为 角DCP=角DAP

所以角PCE=角BAP

所以角F=角PCE

因为角CPE=角 CPF

所以三角形PCE相似于三角形PFC

因为PC=AP

所以AP2=PEXPF

2

CE=EF=4

证明：

因为：CE⊥AD

所以：

因为：AD平分∠CAB

所以：

在三角形AEC和三角形AEF中

AE=AE

所以：三角形AEC全等于三角形AEF

所以:CE=EF

因为，∠ACB=90°，CE⊥AD

所以：三角形ACE相似于三角形DEC

所以：CE*CE=AE*AD=16

所以：CE=4

所以:CE=EF=4

3

D是RtΔABC的斜边BC上一点，且ΔABD与ΔACD的内切圆相等，S表示RtΔABC的面积。求证:S=AD^2。

对于任意ΔABC，D是边BC上一点，如果ΔABD与ΔACD的内切圆相等，则有

AD^2=[(CA+AB)^2-BC^2]/4 (1)

下面先证这一命题。设AD=x，则

BD/CD=S(ABD)/S(ACD)=(AB+x+BD)/(CA+x+CD) (2)

由余弦定理得:

BD/CD=(x^2-AB^2+BD^2)/(-x^2+CA^2-CD^2) (3)

又BD+CD=BC (4)

根据以上三式，可推得(1)式.

因为ΔABC是直角三角形，BC为斜边，由勾股定理得:

BC^2=CA^2+AB^2， (5)

又RtΔABC的面积S=CA*AB/2。 (6)

根据(1)，(5),(6)式得:

AD^2=[(CA+AB)^2-BC^2]/4=CA*AB/2=S

4

证明 设S1,S2分别表示ΔABD与ΔACD的面积.

作DE⊥AB于E，DF⊥CA于F。设AB=c,CA=b，BD=n,CD=m。

由相似三角形知:

DE=nb/(n+m), DF=mc/(n+m)，

在RtΔADE中，由勾股定理得:

AD^2=(n^2*b^2+m^2*c^2)/(n+m)^2。

因为ΔABD与ΔACD的内切圆半径相等,即

2S1/(AD+c+n)=2S2/(AD+b+m)

且S1:S2=n:m，

有n/(AD+c+n)=m/(AD+b+m)

<==> AD(m-n)=nb-mc

若m=n，则得 b=c，S=AD^2 显然成立。

若m≠n，则

(nb-mc)^2/(m-n)^2=(n^2*b^2+m^2*c^2)/(n+m)^2。

<==> n^2*b^2+m^2*c^2=bc*(n+m)^2/2,

即得 S=AD^2。

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