数学归纳法证明整除

数学归纳法证明整除

数学归纳法证明整除

数学归纳法

当n=1 的时候

上面的式子 = 3^4-8-9=64

成立

假设 当n=k 的时候

3^(2k+2)-8k-9能够被64整除

当n=k+1

式子= 3^(2k+4)-8k-17

=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64

因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除

∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除

n=k+1 时 ，成立

根据上面的由数学归纳法

3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整除。

2

当n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性)

设当n=k时，仍然成立。

当n=k+1时，·····················(一般性)

3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64

因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除

不用写了吧··

正确请采纳

数学归纳法

当n=1 的时候

上面的式子 = 3^4-8-9=64

成立

假设 当n=k (k>=1)

3^(2k+2)-8k-9能够被64整除

当n=k+1(k>=1)

式子= 3^(2k+4)-8k-17

=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64

由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出

n=k+1 时 ，成立

根据上面的由数学归纳法

3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整

3.证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除

数学归纳法

(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除

(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除

则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1

=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k

=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k

括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除

所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除

综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除

4证明：

(1)n=1时，3^(6n)-2^(6n) =3^6-2^6=665=19*35，命题成立

(2)假设n=k时命题成立，即

35能整除3^(6k)-2^(6k)

即3^(6k)-2^(6k)=35m (m∈Z+)

则n=k+1时

3^(6n)-2^(6n)

=3^(6k+6)-2^(6k+6)

=(3^6)*3^(6k)-(2^6)*2^(6k)

=64*[3^(6k)-2^(6k)]+(729-64)*3^(6k)

=64*[3^(6k)-2^(6k)]+665*3^(6k)

=64*35m+19*35*3^(6k)

=35*[64m+19*3^(6k)]

即n=k+1时，35能整除3^(6n)-2^(6n)

综合(1)(2)由数学归纳法知：

对于一切正整数n，35能整除3^(6n)-2^(6n)

===============

给定任意正整数n，设d(n)为n的约数个数，证明d(n)<2√n

证明：

若n存在一个约数a<√n

则n/a=b是n的另一个约数，且b>√n

显然a,b是一一对应的

∵a<√n

∴a的个数<√n

∴b的个数<√n

∴d(n)=a的个数+b的个数<2√n5假设n=k时成立 得3^(6k)-2^(6k)能被35整除

3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)

=(3^6-1)3^(6k)-(2^6-1)*2^(6k)

=728*3^(6k)-63*2^(6k)

=63*(3^(6k)-2^(6k))+665*3^(6k)

因为665/35=19 所以 3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)可以被35整除

那么由3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)+3^(6k)-2^(6k)

=3^(6k+1)-2^(6k+1)

可得到

3^(6k+1)-2^(6k+1)

必定可以被35整除

当n=1时3^(6n)-2^(6n)能被35整除

所以 证明完成

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