换元法证明不等式

换元法证明不等式

换元法证明不等式

已知a,b,c,d都是实数,且满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求证:|ac+bd|≤2

a=cosA,b=sinA

c=2cosB,d=2sinB

|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|

<=2

得证

若x+y+z=1，试用换元法证明x+y+z≥1/3

解法一：(换元法)

证明：因为

(x-1/3)^2+(y-1/3)^2+(z-1/3)^2≥0

展开，得

x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0

x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0

x^2+y^2+z^2≥1/3。

其中等号当且仅当x=y=z=1/3时成立

解法二：

因为:x+y+z=1

所以:(x+y+z)=1

化解为:x+y+z+2xy+2xz+2yz=1

又因为：

x+y≥2xy;

x+z≥2xz;

y+z≥2yz;

所以x+y+z+2xy+2xz+2yz=1<=3(x+y+z)

固x+y+z≥1/3

例1：已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3

证明：令a=m+1/3，b=n+1/3，c=t+1/3，则m+n+t=0

∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2

=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3

=m2+n2+t2+1/3

∵m2+n2+t2≥0， ∴a2+b2+c2≥1/3 得证。

换元的目的：转化、化简已知条件，使已知条件更易于使用。

例2：已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)

证明：令x=a-b，y=b-c，则a-c=x+y且x>0，y>0

∴原不等式转化为：1/x+1/y≥4/(x+y)

因此，只要证明：(x+y)/x+(x+y)/y≥4

只要证：1+y/x+1+x/y≥4

只要证：y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立。

∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c) 得证。

换元的目的：

化简、化熟命题，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

例3：已知(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2=0，求证：(3-√5 )/2≤x2+y2≤ (3 +√5 )/2

证明：令x2+y2=t

由(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2=0整理得：

(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1=-4x2

∴(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1≤0

∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5 )/2≤t≤(3 +√5 )/2

∴ (3-√5 )/2≤x2+y2≤(3 +√5 )/2 得证。

换元的目的：转化条件，建立条件与结论间的联系。

例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求证：x2+y2+z2≥59/14

证明：设x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k，

则x=k+1，y=2k-1，z=3k+2

∴x2+y2+z2=(k+1) 2+(2k-1) 2+( 3k+2) 2

=14k2+10k+6

=14(k2+5k/7)+6

=14(k+5/14) 2+59/14≥59/14

∴x2+y2+z2≥59/14 得证。

换元的目的：减少未知数的个数，直接利用已知条件。

例5：已知a>0，求证：(a+(a+(a+(a+…+a 0.5) 0.5) 0.5) 0.5) 0.5<[1+(1+4a) 0.5]/2

证明：设t1=a 0.5，t2=(a+a 0.5) 0.5，……，tn=(a+(a+(a+(a+…+a 0.5) 0.5) 0.5) 0.5) 0.5

tn=(a+ tn-1) 0.5

tn2=a+ tn-1，且tn>0，而tn> tn-1

∴tn20

∴tn<[1+(1+4a) 0.5]/2 原不等式得证。

换元的目的：转换、化简命题

例6：已知a≥c>0，b≥c，求证：√c(a-c)+√c(b-c) ≤√ab

证明：要证明原不等式，只要证明：

√c(a-c)/ ab +√c(b-c)/ ab ≤1

只要证明：√(c/b)(1-c/a) +√c/a(1-c/b) ≤1

令sinα= √c/b ，sinβ=√c/a ，且α、β∈(0，π]

只要证明：sinαcosβ+cosαsinβ≤1

只要证明：sin(α+β)≤1，而sin(α+β)≤1显然成立

∴原不等式得证。

换元的目的：利用两个正数的和等于1进行三角换元，可以将原问题得到极大

程度的化简，在各种命题的解题中有着广泛的应用。

例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均为正数，求证：an+bn2且n∈N

证明：设a=csinα，b=ccosα。α∈(0，π/2)

则：an+bn=cnsinnα+ cncosnα=cn (sinnα+ cosnα)

∵0

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