向量证明重心

向量证明重心

三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD

(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。

2

设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0

3

如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

证明：用归一法

不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b

因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因为向量a和b线性无关，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

证毕!

4

设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3\

设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3

5

如图。设AB=a(向量)，AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.

BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.

t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.

如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1

证明：用归一法

不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b

因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)

同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形ABO中，AO=BO-BA

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因为向量a和b线性无关，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以A0：AD=BO：BE=2：3

故AO：OD=BO：OE=2:1

设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1

所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’

因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1

证毕!

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