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利用导数证明不等式
利用导数证明不等式没分都没人答埃。。觉得可以就给个好评!
最基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边,然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导,判断这个函数这各个区间的单调性,然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导,f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1,+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明:a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此,F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明:不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时,sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数,那么它一定<在0点的值0,
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数,它在0点有最大值0,
知sinx
再证x-x/6
对于函数x-x/6-sinx
当x=0时,它的值为0
对它求导数得
1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数,它在0点的值是最大值了。
要证x/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函数关系,令x=0时,x/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0 sinx
x/2-cosx-1是减函数,在0点有最大值0
x/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x/6-sinx是减函数,在0点有最大值0
得x-x/6
利用函数导数单调性证明不等式X-X>0,X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x x∈[0,1]
则f'(x)=1-2x
当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得,最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。
i、m、n为正整数,且1
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