八年级数学教案：平方差公式
一、教材分析
本节课选自人教版八年级上册第14章第二节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法.因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一.
二、学情分析
1.学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感.经过一个学期的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力.学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能.通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，培养学生具有独立探索、合作交流的习惯.
2.学生活动经验基础：学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题;另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性.
三、教学目标
1.知识目标：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用.
2.能力目标：运用公式进行简单的运算，获得一些数学活动的经验，进一步增强学生的符号感、推理和归纳能力及解决问题的能力.
3.情感目标：让学生经历“特殊到一般再到特殊”(即：特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示解决问题)这一数学活动过程，积累数学活动的经验，体会数学的简洁美和数形结合的思想方法.培养他们合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识.
通过几方面的合力，提高学生归纳概括、逻辑推理等核心素养水平.
四、教学重难点
教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点;并会运用公式进行简单的计算.
教学难点：从广 泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.
五、信息技术应用思路
1.本课运用了信息技术辅助教学，主要使用的技术有：PPT课件、几何画板.
2.使用几何画板技术，演示利用动态绘图软件研究周期性快速切换、更改周期，形象演示图形变化，利用面积法推导平方差公式;在导入、难点突破、练习巩固等环节使用信息技术.
3.预期效果：激发学生学习兴趣;找准并突破难点;提高课堂学习效率.整个教学过程用PPT节约了时间，使课容量适中;多媒体更能吸引学生的注意力，更利于课堂的完整.
六、教学过程设计
(一)创设情境，导入课题
问题1：美丽壮观的城市广场，是人们休闲旅游的地方，已经成为现代化城市的一道风景线.某城市广场呈长方形，长为1003米，宽997米.
你能用简便的方法计算出它的面积吗?看谁算得快：
师生活动：学生欣赏图片，感受生活中的数学问题，并进行生活中的数学向数学模型转换.
信息技术支持：PPT演示由现实中的实际问题入手，创设情境，从中挖掘蕴含的数学问题.
(二)探索新知，尝试发现
问题2：时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长(m+1)米，宽为(m-1)米的长方形花坛.你会计算改造后的花坛的面积吗?
计算下列多项式的积，你能发现什么规律?
(1)(m+1)(m-1)= ;
(2)(5+x)(5-x)= ;
(3)(2x+1)(2x-1)= .
师生活动：学生在教师的引导下，通过小组讨论探究，进行多项式的乘法，计算出结论.
信息技术支持：PPT动画演示.
结论是一个平方减去另一个平方的形式，效果十分鲜明.
(三)总结归纳，发现新知
问题3：依照以上三道题的计算回答下列问题：
(1)式子的左边具有什么共同特征?
(2)它们的结果有什么特征?
(3)能不能用字母表示你的发现?
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗?
教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
师生活动：学生在教师的引导下，通过小组讨论探究，归纳平方差公式的语言叙述.式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，
信息技术支持：PPT和几何画板演示，培养了学生的探究意识和合情推理的能力以及概括总结知识的能力.
(四)数形结合，几何说理
问题5：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗?
提示：a2-b2与(a+b)(a-b)都可表示该图形的面积.
师生活动：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性，渗透了数形结合的思想.
信息技术支持：PPT演示，进一步利用动画的演示巩固对平方差公式的理解程度，培养了学生的应用意识.
(五)剖析公式，发现本质
1.左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项;右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能数或代表式.
师生活动：在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住概念的核心.
信息技术支持：通过PPT练习实现了知识向能力的转化，让学生主动尝试运用所学知识寻求解决问题.
(六)巩固运用，内化新知
问题6：判断下列算式能否运用平方差公式计算：
(1)(2x+3a)(2x3b);
(2)(-m+n)(m-n).
问题7：利用平方差公式计算：
(1)(3x +2y)(3x-2y);
(2)(-7+2m2)(-7-2m2).
师生活动：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.
信息技术支持：PPT展示书写步骤，有利于节省时间，提高效率，规范学生书写.
(七)拓展应用，强化思维
问题8：利用平方差公式计算情景导航中提出的问题：
即：1003×997=(1000+3)(1000-3)=10002-32=1000000-9=999991.
问题9：小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积.
师生活动：设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时训练了学生逆向思维能力.
信息技术支持：PPT展示书写步骤，有利于节省时间.
(八)总结概括，自我评价
问题10：这节课你有哪些收获?还有什么困惑?
提示：从知识和情感态度两个方面加以小结.
师生活动：使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，分组讨论后交流.
信息技术支持：PPT演示，复习、巩固本节课的知识，在掌握基础知识的前提下，增加提高练习，适当增加灵活度，进一步深化对知识的理解.
(九)课后作业
1.必做题：课本P36习题2.1A组1、2.
2.选做题：课本P36习题2.1B组1、2.
作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异.
七、教学反思
1.本节课通过与学生生活紧密联系问题及多媒体图画设计引入，激发了学生学习兴趣，同时在教学中以学生自主探究为主，为不同学生设计练习，有利于提升了学生的自信心.
2.多媒体的应用能使学生充分体验到教育信息技术的优点，在操作过程中体会学习的快乐，特别是操作简单，学习效率大大提升，在学习过程中使教学软件与本节课的教学内容紧密结合在一起，使学生的思维始终关注学科本质.
3.信息技术的应用，便于及时发现问题，反馈教学，使教与学更有层次性、针对性、实效性.教师要善于抓住这个契机，充分利用多媒体技术，利用图形结合功能，降低难度，增强直观性.信息技术的应用大大提高了课堂效率.
八年级数学教案：多边形的内角和
一、内容和内容解析
1.内容
多边形的内角和.
2.内容解析
本节课是以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理等数学活动，引导学生探索多边形的内角和与外角和的公式.通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力.
教材先是通过作对角线探求任意四边形内角和.这个环节，通过自主学习环节的铺垫及学生的现有知识，把未知的四边形内角和转化为已知的三角形内角和来求解，有效地突破本节课的难点.再作对角线探求五边形、六边形的内角和，找规律探求n边形的内角和公式.这里我增加了一个环节是通过从一个顶点出发作对角线，来达到分割为三角形的目的.从边上、五边形内、外的任意一点出发，与顶点连接，来分割三角形.这个环节我没有直接把方法教授给学生，而是让学生先在学案上自主探索，然后小组合作，探讨，交流，小组汇报展示探索方法.这么做，可以锻炼学生合作交流的能力，同时可以提高语言表达能力.最后通过例题2的处理：得出六边形的外角和为360°如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：n边形的外角和等于360°.
本节课的教学重点是：多边形的内角和与多边形的外角和公式.
二、目标和目标解析
1. 教学目标
(1)了解多边形的内角、外角等概念.
(2)能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.
2. 教学目标解析
(1)学生能正确理解多边形的内角、外角等概念，感悟类比方法的价值.
(2)引导学生能够从三角形的内角和知识出发，通过观察、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和的公式.通过多种转化方法能深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想.
三、教学问题诊断分析
对于多边形的内角和定理的推导是通过作对角线探求五边形、六边形的内角和，通过数据的关系得到边数n与分割三角形个数之间的关系，总结出边数与分割三角形个数是n与n-2的关系，从而得到n边形内角和为(n-2)×180°，体现由特殊到一般的转化思想，显得更加简洁，明了，易懂.这里我增加了一个环节是通过从一个顶点出发作对角线，来达到分割为三角形的目的.从边上、五边形内、外的任意一点出发，与顶点连接，来分割三角形.这个环节我没有直接把方法教授给学生，而是让学生先在学案上自主探索，然后小组合作，探讨，交流，小组汇报展示探索方法.这么做，可以锻炼学生合作交流的能力，同时可以提高语言表达能力.
本节课的教学难点：多边形的内角和定理的推导.
四、教学过程设计
1.复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?
2.多边形的内角和
如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?
可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.
类似地，你能知道五边形、六边形…n边形的内角和是多少度吗?
观察下面的图形，填空：
五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引 条对角线，它们将五边形分成 个三角形，五边形的内角和等于 ;
从六边形一个顶点出发可以引 条对角线，它们将六边形分成 个三角形，六边形的内角和等于 ;
从n边形一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将n边形分成 个三角形，n边形的内角和等于 .
n边形的内角和等于(n-2)180°
从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例，你还有其它的分法吗?
分法一：如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形.
∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.
图1 图2
分法二： 如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以(5-1)个三角形.
∴五边形的内角和为(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°=540°.
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°.
3.例题
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?
如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B与∠D的关系.
分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°
又∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的内角和是多少度?
解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180°
∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA
=6×180°
又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°=4×180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°=360°
这就是说，六边形形的外角和为360°.
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：
n边形的外角和等于360°.
对此，我们也可以这样来理解.如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
4.课堂练习
课本24页练习1、2、3题.
5.课堂小结
n边形的内角和是多少度?
n边形的外角和是多少度?
6.布置作业：
教科书习题11.3第1，3，5，7，10题.
五、目标检测设计
1.十边形的内角和为( ).
A.1 260° B.1 440°
C.1 620° D.1 800°
【设计意图】考查学生对多边形内角和公式掌握程度，要特别注意对公式的理解记忆.
2.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是_______度，外角和是__________度.
【设计意图】考查学生能否灵活运用多边形的内角和与外角和公式，要注意审题.
3.一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________.
【设计意图】本题是告诉内角和求边数，主要考查多边形内角和公式的整体运用.
4. 如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B+∠ADC=140°，则∠1+∠2等于( ).
A.140° B.40°
C.260° D.不能确定
【设计意图】考查四边形的内角和与邻补角问题，解题时需要综合考虑，或许有更好的方法.
八年级数学教案：因式分解提公因式法
一、教学目标
1.理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系.
2.了解公因式的概念，能熟练运用提公因式法进行因式分解.
3.在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法.
二、教学重难点
教学重点：会用提公因式法分解因式.
教学难点：如何确定公因式及提出公因式后的另外因式.
三、教学过程
(一)创设情境，引出问题
学校为了丰富我们的课外活动，打算在原操场两侧分别建一个网球场和篮球场，各场地长、宽如下图所示：
问题1：你能用几种方法表示扩大后的操场面积?
预设1：ma+mb+mc.
预设2：m(a+b+c).
问题2：不同的表示方法之间有什么关系?
预设：ma+mb+mc= m(a+b+c).
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
问题3：如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系?
预设：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在思考、观察和探索的过程中，了解因式分解的概念，认识因式分解的基本属性将和差化积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫.
练习1：根据你对概念的理解，判断下列变形是不是因式分解.
(1)2m(m-n)=2m2-2mn;
(2)x2-2x+1=x(x-2)+1;
(3)a2-b2=(a+b)(a-b);
(4)4x2-4x+1=(2x-1)2;
(5)3a2+6a=3a(a+2);
(6)m2-1+ n2=(m+1)(n-1).
【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念，认识到因式分解是恒等变形.
(二)探索发现，推陈出新
观察多项式ma+mb+mc.
思考：这个多项式的各项有什么特点?
预设：它的各项都有一个公共的因式m.
我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式.
例1：找出下面多项式的公因式.
(1)4xy2+2x2y3;
(2)ax2+2ax-4ay.
练习2：写出下列多项式各项的公因式.
(1)4ax-8ay;
(2)5y3+20y2;
(3)a2b-2ab2+ab;
(4)-4a3b2-6a2b+2ab;
(5)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b).
归纳方法：如何确定多项式各项的公因式?
1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：找多项式各项相同的字母.
3.定指数：相同字母的最低的次数.
【设计意图】通过学生观察、思考和总结归纳，让学生了解公因式的概念，进一步了解因式分解与整式乘法的关系，了解因式分解的理论依据，为提公因式法分解因式做基础，初步理解提公因式法分解因式.
(三)例题展示，规范解题
因式分解：27x3-9x2y2.
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例2：把2x2-8xy+x因式分解.
解：原式=x2x-x8y+x1
=x(2x-8y+1).
【设计意图】通过例题的教学，引导学生：(1)了解提公因式法分解因式的基本步骤;(2)积累找公因式的经验;(3)知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的;(4)用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式.
练习3：(1)24a3m-18a2m2;
(2)5y2-15y+5;
(3)28x3-14x2+7x.
例3：因式分解.
【设计意图】例3是对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号.
练习4：(1)-7ab+49ab2c;
(2)-6ax2+9axy-3a;
(3)-2a3b2-ab3c+3abc.
例4：把多项式 2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
【设计意图】例4的公因式是多项式，通过这一例题的教学，提高学生对“公因式”的认识可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质认识.
练习5：(1)4m(n-3)+2(n-3);
(2)2a(y-x)-3b(x-y);
(3)a(a2+b2)-c(a2+b2).
(四)课时小结，知识分享
通过这节课的学习，你有哪些收获?和大家一起分享吧!
1.什么叫因式分解?
2.确定公因式的方法?
3.提公因式法分解因式步骤?
4.提公因式法因式分解中的四个注意?
【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学的内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识间的练习，促进学生数学思维品质的优化.
(五)作业
基础检测：
1.因式分解
(1);
(2)-12a2b+24ab2;
(3)xy-x2y2-x3y3;
(4).
2.已知a-b=3，ab=-1，求a2b-ab2.
3.若x2+3x-2=0，求2x3+6x2-4x的值.
4.先分解因式，再求值：
4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3.
能力提升
1.因式分解
(1); (2); (3); (4).
2.先化简，再求值，其中，x=. 3.已知方程组，求代数式的值.