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浅说解决问题的策略与教学(沈重予)
《数学课程标准(实验稿)》在课程总体目标的“解决问题”方面指出：(学生)形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。课程标准解读中只阐述策略的重要性，没有说明什么是策略。在一些数学教学专著里，虽然专家们谈了解决问题的策略，但也不是共识的界说。这一问题可以追溯到20世纪80年代世界性的数学课程改革，许多国家和地区纷纷把“问题解决”作为学校数学教育的核心。“问题解决”主要有二方面的含义：(1)问题解决是重要的社会活动。在日常生活、生产劳动、科学研究等各个领域，人们都要解决问题。遇到的问题，有些是熟悉的，已经有解决的方法；有些是新颖的，暂时没有现成的方法。因此，人们一方面要积累一些模式用于前一类问题的解决，另一方面还要形成一些策略来解决后一类问题。(2)问题解决是学校教育的一项任务。学校教育是为了培养能适应当今和未来社会需要的人。数学课程作为一门基础课程，应该具有前瞻性，要把善于提出问题、乐于解决问题列为课程目标，大力培养学生解决问题的意识和能力。(3)问题解决是数学教学的一种方式。如果数学教学把一部分内容用问题解决的方式进行，学生就有机会提出问题和解决问题，就能经常开展解决问题的活动，久而久之，就会逐渐习惯客观理性地面对问题，获得解决问题的方法、技巧及体验，形成解决问题的策略。
我国数学课程改革把解决问题作为课程目标的一个方面，在课程标准里提出解决问题的策略，顺应了先进的课程发展方向。其实，大多数教师凭自己的知识经验，都能够体会课程标准里的“策略”指的是什么，都能够理解“策略”的教学价值，都能够接受关于“策略”的教学内容和任务，没有必要纠缠于“策略”的严密定义。同样，课堂教学帮助学生体验策略、形成策略，也不需要对“策略”是什么意思进行过多的说明或解释，学生能够在解决问题时感受“策略”的含义。
二、教学哪些策略
人类在大量解决问题的实践中，总结了解决数学问题的一般过程，主要分“提出和理解问题、拟订方案、执行计划、评价反思”四个阶段。解决问题的一般步骤是比较概括的上位观念，可操作性并不强，必须落实于具体的方法、手段上。如，理解问题是在头脑里构造问题的表征，这一构造活动总是围绕已知条件与未知问题进行的。如果借助一些有效的形式和技术，效果会很好。再如，解决以前曾经见过的问题，要选择可以利用的模型；解决首次遇到的问题，拟订计划需要数学思想统领，需要数学活动经验支持。又如，执行计划是既严格又灵活的过程，有时会调整原来的方案，甚至推翻并重新设计方案，有时还会跳过原先方案中的某些程序，加速求解的进程。还有反思什么、积累什么……都涉及了解决问题的策略。
解决问题的策略有很多，教材兼顾策略的可接受性和策略本身的实际价值，主要编排了以下策略： 第—学段 综合与分析 四年级 整理、画图 五年级 枚举、倒推 六年级 尝试、转化 综合与分析是对问题里的信息进行加工，形成解决问题的思路、计划。“综合”着重研究已知条件之间的联系，派生出新的数据条件，为解决问题增添新的资源。“分析”着重沟通条件与问题之间的联系，在联结点上把复杂的问题分解成连续的简单问题。综合与分析是基本的思维方法，并且总是结伴而行、相辅相成的。教材在一、二年级解决一步计算的实际问题，孕育着综合、分析的思想。三年级通过两步计算实际问题的教学，初步学会综合与分析的思考方法。
整理、画图是加工信息的表现形式。小学数学 让学生解决的问题，大多以图画情境或文字讲述的方式呈现，在头脑里表征数学问题，要排除(或淡化)非数学的内容和无关的数据，保留有价值的数学信息；要把分散、零星的重要数据组织起来，暴露蕴含的某些关系。另外，图形直观能把一些较难理解的问题，一些较难发现的关系变得易懂明朗。所以，整理与画图有益于理解题意，有助于分析、综合，是解决问题的策略。第一学段的教材中出现了示意图、线条图、线段图……利用图画表达数学概念和数量关系，是以后学习画图的基础。四年级把整理、画图作为策略教学，让学生体验整理、画图对解决问题的积极意义，学会一些整理、画图的方法，主动应用到解决问题的过程中。
化归是解决问题的重要策略，在解决新颖的、复杂的问题时十分有用，化归有很多具体情况和方法，如特殊与一般的转化、动与静的转化、顺与逆的转化、正与反的转化……教材联系小学生已有的知识经验，以及思维、能力的发展水平，着重教学将新知转化为旧知，并少量安排了把复杂的问题转化为简单的问题。
尝试是解决问题时经常考虑采用的一种方法。解决一个从未见过的问题，经验系统里没有现成的模式可直接利用。这时，猜一猜、估一估往往是解决问题的突破口，猜与估把新的问题情境与一些已有的图式联系起来了。当然，猜想与估计不一定就是问题的答案，有可能是，也可能不是，这就需要通过验证来确认或排除。当今和未来社会里，人们解决新颖问题的几率越来越高，尝试作为一种方法，验证作为一种科学态度，两者有机配合，是非常有效的策略。教材编排尝试策略，也符合课程标准“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理和初步演绎推理能力”的精神。
三、怎样教学“策略”
“策略”作为解决问题的计策、谋略，与“方法”有区别，也有联系。“方法”一般具有行为特征，有操作的成分，而“策略”比方法上位，是组织和开展行动的方针，能指导有效地使用方法。“方法”可以从外部输入，而“策略”只能在内部滋生，我们可以通过讲解、示范、模仿，把方法教给学生，但无法代替他们形成策略。正如下棋、打牌，要学会走棋、出牌，可以拜会下棋、会打牌的人为师，从他那里学到方法。如果希望走出妙棋、打出好牌，则必须经常下棋、打牌，积累经验，形成策略，即使有高手指点，也要自己领悟。
在教学解决问题的策略之前，学生已经解决过许多问题，初步积累了一些解决问题的知识和方法，但都是就事论事的，对生活经验的依赖比较明显。解决问题的教学，其目的不仅仅满足于找到问题的答案，而在于形成解决问题的策略与能力。过去的解题经历，是形成策略的宝贵资源，形成策略需要自主“体验”。首先要体验方法的具体内容和使用要领，学会方法；然后在广泛、灵活地应用方法解决问题的过程中，体验方法的价值。所以说，教学策略既不能离开方法说空话，也不能拘泥于方法犯教条主义。
教学策略，要在问题情境里激活相关的方法。三年级(上册)第四单元“加和减”里的两步汁算应用题，要初步形成分析法思路。例题用一条线段表示裤子的价钱，让学生画出表示上衣价钱的线段，计算买1套衣服要用的钱。画表示上衣价钱的线段，能感受已知条件“裤子单价28元”与“上衣价钱是裤子的3倍”的联系，感受所求问题“一套衣服的价钱”与已知条件“裤子的价钱”的关系，产生解决问题的思路。“试一试”继续求上衣比裤子贵多少元，“想想做做”里解决“已知两个数相差几，求这两个数的和”的问题，把解答例题的经验向新的问题情境扩展。纵观例题、“试一试”“想想做做”里的实际问题，反思“求总和”与“求相差数”的方法，就能初步形成从问题出发，向条件推理的分析法思路。前几年有些课上，教师没有引导学生对解决问题的过程与方法再认反思，甚至没有意识到解题思路，影响了学生解题策略的形成。
教学策略时，如果相关的经验不够丰富，那就需要讲一些方法，让学生在学习方法的同时体验方法，形成解决问题的策略。四年级(上册)的“整理”策略，就是这样教学的。例1利用归一问题讲整理，先把小明和小华买练习本的本数与用去的钱数填在表格里，示范了整理条件、问题的方法，以及通过整理形成的解题思路。接着让学生解答小军42元买了多少本，模仿着在表格里整理信息，体会整理对解决问题的积极作用。然后用连线形式表现小明、小华，小军各人买的本数与用去钱数的对应关系，凸现了整理是沟通数量之间的联系，使学生深刻地感受整理的方法和意义。“想想做做”第2题用整理策略解决归总问题，学生首次解决归总问题，没有现成方法可以使用，甚至理解题意都会有闲难。教材指点学生把条件与问题表示在表格中，弄明白这个实际问题里有三种球 的价钱与买的个数，通过整理弄懂题意，形成解法，充分体现整理是一种有效的策略，尤其是面临新颖的问题，或在不理解问题、想不到解法时，整理对解决问题是十分必要的。整理信息的形式是多样的，画表格整理虽然中规中矩，却有点麻烦，麻烦往往降低可行性。摘录相关信息，或者用线连一连，比较宽松、灵活，可行性强得多。另外，整理既可以借助外显的形式进行，还可以在头脑里进行，具有在头脑里整理的习惯与能力，是策略教学的目标追求。教材充分体现了这样的意图，“想想做做”的前两题给出了表格，要求填表整理。后两题没有给出表格，让学生用自己喜欢的形式进行整理，适当作些摘录或者在题目上勾勾画画都可以，体现了具体运用策略的形式是多样的。
五年级(上册)编排枚举策略主要有两点原因：一是有些实际问题里，条件与问题的关系不能归结为常见数量关系，因而很难列式计算出答案。正如例1围羊圈，几乎每个学生都能说出一两种围法，但不容易说出一共有几种围法，更列不出算式。如果从能够说出的围法切入，依次把其他各种围法都排列出来，问题自然就解决了。二是不重复、不遗漏地枚举，需要有条理的细致思考，对思维品质有很好的作用，是数学教学的任务。如例2里订杂志，先考虑订l本，再考虑订2本，最后考虑订3本，这已经是有序思考。在只订l本和订2本里，还要列举出各种可能，又有助于培养思维的条理性。教学枚举策略和教学其他策略一样，仍然要注重学会方法、体验方法，让枚举的形式灵活多样，富有个性。例3的教学，首先要理解问题情境，营造枚举氛围，找到枚举的切入口。23人到旅馆住宿，住的房间有3人间和2人间，3人间的间数没有规定，可能是1间、2间……住的2人间也可能是1间、2间……由此，解决这个问题可以用一一列举的方法，从3人间住1间开始列举，或者从2人间住1间开始列举。其次要随时检验每次列举的情况，判断是否符合题意。问题情境规定每个房间不能有空床位，这就是说，3人间按1间、2间……依次列举，必须相应的2人间没有空床位，才是合适的安排，可以保留。同样，2人间按1间、2间……列举，相应的3人间有空床位，属不合适的安排，必须放弃。然后要体会这个问题用枚举方法解答的好处，体会枚举的起点和有序枚举的过程，比较从3人间开始枚举和从2人间开始枚举哪一种优点明显。最后还要体会检验的重要性，这在前面的问题中是没有的，在六年级运用尝试的策略解决问题时，也需要类似的经验。
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