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解决问题的策略及其教学简论(巢洪政)
“解决问题的策略”作为苏教版教材的亮点，在教学实践中倍受广大小学数学教师的关注。本文试就该内容的教学问题进行系统阐述。一、解决问题策略的本质
1．“策略”一词的渊源。
在汉语中，“策”与“略”开始是独立存在的。前者有马鞭、鞭打、授爵或应答、谋划等义；后者有巡行、疆界、侵夺、法度、谋划等义。由于二者都有“谋划”之义，所以合二为一，组成“策略”一词。我国文献中最早使用该词的大概是《人物志·接识》，其曰：“术谋于人，以思谟为度，故能成策略之奇。”这里的策略，是指“计策谋略”的意思。汉语发展至现代，“策略”一词被解释得具体一些，但本意没有变化，仍含有计策、对策、谋略、方略的意思。《现代汉语词典》中对“策略”的词条解释是：(1)根据形势发展而制定的行动方针和斗争方式。(2)讲究斗争艺术；注意方式方法。
2．学习策略与认知策略。
就学习心理理论的角度来说，“策略”是目标指向的旨在解决问题的心理操作，是一种特殊的智慧技能或认知技能。它的学习应属于策略性知识的学习，即属于学习策略及认知策略的学习范畴，因此，有必要首先对“学习策略”和“认知策略”进行简要的介绍。心理学界对学习策略的论述是多种多样的。一般认为是指在学习情境中，学习者对学习任务的认识，对学习方法的调用和对学习过程的调控。而认知策略是一种特殊的、非常重要的技能，是个体对认知过程进行调节和控制的能力，包括个体挖掘自己注意、学习、记忆和创造性思维的能力。对于学习策略的认识，心理学界大体有三种说法：“等同说”，即把学习策略等同于认知策略；“方法说”，即学习策略是加工信息的具体方法、技能与程序等；“统一说”，即学习策略是信息加工与对信息加工进行调控的统一体。
3．解决问题与解决问题的策略。
问题是指当有机体有个目标，但又不知道如何达到目标时，就产生了问题。任何问题都含有“给定”“目标”“障碍”三个基本成分。解决问题是从问题的起始状态(给定)出发，经过一系列有目的指向的认知操作，达到目标状态的过程。因此，解决问题的策略是学习策略的重要组成部分，它是指在问题解决的过程中，在元认知活动的作用下，调用(或发现)问题解决的方法，有效地组织问题解决的认知操作活动，使认知操作活动实际起到消除问题的“障碍”，实现问题“给定”到“目标”的转换，达到问题解决的目的的一种内部心理机制。
4．解决问题的策略和方法的关系。
解决问题的策略和方法是既有区别又有联系的。就目前我国小学数学界对两者关系的认识来看，比较强调解决问题的策略和方法之间的区别，认为“策略”属于“战略”的范畴，是指向学生应付环境事件过程中控制自己“内部的”行为，是比方法上位的，是组织和开展行动的方针，能对方法的使用进行有效指导；“方法”属于“战术”的范畴，是指向学生的环境，使学生能处理“外部的”数字、文字和符号等，一般具有行为特征，有操作的成分，两者是明显不同的。然而，通过考察解决问题的整个过程，著名学习心理学家加涅指出，学生能否解决问题，既取决于是否掌握有关的规则(即方法)，也取决于学生控制自己内部思维过程的策略。解决问题的方法和策略是解决同一问题过程中的两个方面，学生在学习解决问题方法的同时，也逐步形成了解决问题的策略，脱离了具体的学习内容和方法，就既不可能习得也不可能运用解决问题的策略。解决问题策略的形成是和解决问题的内容、方法结合在一起的，这就是说，解决问题“方法的掌握与应用”基本上与“解决问题的策略”是同义的，即解决问题的策略中主要包含的是解决问题的方法，解决问题的方法是解决问题的策略的重要组成成分，对解决问题策略的实施起着支持作用。两者都属于解决问题过程中的程序性知识，它们的联系如下图：
形象地讲，这两者的关系就犹如一张纸币的两个面，从外观上看两个面存在着明显的区别，但是，在拿起这张纸币时就必定同时拿出了两个面，两者紧密地联系在一起，如果要做到既保持完整的纸币又要把这两个面彻底分开或单独取出，那是十分困难和有些不可能的。据此我们也就不难发现，许多解决问题的策略如一一列举倒推、转化等，通常也可以称为枚举法、倒推法、转化法等解决问题的方法。笔者主张在解决问题的教学中应该更加重视两者的联系，这样做并不等于说解决问题的“方法”和“策略”基本是同义的，这是因为学生在选择和使用策略方面存在着个别差异，学生即使掌握了同样程度的解决问题的方法，但由于有些学生采用的解决问题的策略较合适些，表现出来的解决问题的能力就强些。
应该看到，解决问题的策略与方法的关系和数学思想与方法的关系是十分类似的。陈立群老师在《数学教学中的知识、方法与思想》一文中认为：数学方法与数学思想互为表里，密切相关，前者呈“显性”，后者为“隐性”，两者都以一定的知识为基础，反之又促进知识的深化以及向能力的转化。方法是实施思想的技术手段；思想则是对应方法的精神实质和理论根据。又认为：数学思想是在数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是对数学概念、命题、规律、方法与技巧的本质认识，是数学中的智慧和灵魂。因此，掌握数学思想是数学学习的最高境界。这样我们也就可以类似地看出，解题“策略”就是数学思想在解决问题中的体现，与解题“思想”基本是同义的，于是，解题策略也应该是解决问题的基本观点和根本想法，掌握解题策略是解决问题学习的最高境界。而且，在即将颁布的《数学课程标准》实验修订稿中，仍然多次出现了有关解决问题策略教学要求的叙述，如：“在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平；问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。”又如：“学生是否能理解题目的意思，能否思考出解决问题的策略，如通过画图进行尝试。”可见，解决问题策略的学习在解决问题的教学中具有重要地位，值得继续引起我们的高度重视。
5．解决问题策略的表征方式。
关于解决问题策略的表征方式，一般认为其主要通过命题网络、产生式、图式等方式表征的。有关解决问题策略的名称、各种名称所包含的意义等陈述性知识是以命题网络的形式表征的；关于解决问题策略在解决问题过程中的具体操作步骤的程序性知识，是用产生式表征的；对于一些简单实际问题的分析经验和运用策略解决问题的思维过程，主要是以图式(或脚本)的方式进行编码的。由于解决问题策略的学习实质上也表现为一种程序性知识的学习，因此其学习过程主要经过命题的表征(陈述性知识)阶段，然后经过在相同情境和不同情境中的应用，转化为产生式表征(程序性知识)阶段，最后认识到一套操作步骤适用的条件，达到反省认知阶段。只有到达了最后的反省认知阶段，解决问题的策略才有可能在跨情境中广泛迁移。此时，学生也就真正形成了解决问题的策略。
在解决问题策略的教学中，教师的教学重点在于帮助学生体验策略、形成策略和正确熟练地运用策略，不需要过多地纠缠于策略的意义进行说明或解释。教师如果能够对解决问题的策略有科学准确、全面深刻的认识，无疑将对开展解决问题策略的教学具有重要的指导意义。
二、解决问题策略的分类及常见类型
前面我们已经明确，有关解决问题的方案、计划或办法都称作解决问题的策略。 因此，我们可以从解决问题策略的方法层面上，将解决问题的策略划分成两大类：算 法和启发式。算法是指解决问题的一套规则，它精确地指明解决问题的步骤。就小学数学解决问题学习的一般步骤而言，它主要包括以下几步：(1)弄清题意，并找出已知条件和所求问题；(2)分析问题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么……最后算什么；(3)确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；(4)进行检验，写出答案。通过算 法的使用，就将策略性知识的学习转化为程序性知识的学习，可以使得思维难度较 大的问题解决的学习变成思维难度相对较低的规则的学习，利于学生迅速、正确地解决问题。
启发式是一种凭借经验解决问题的方法，它也可以称为解决问题的经验规则。如画图、分类、倒推、转化等都是小学数学中解决问题的启发式。算法和启发式是两类不同性质的解决问题的策略，两者有明显不同的使用范围。算法侧重于一般的解题步骤；启发式侧重于特殊的、某一类型的解题方法。虽然算法能够保证问题一定得到解决，但它不能取代启发式。因为不是所有的问题都有算法，有些问题是没有或尚未发现算法的；有些问题虽有算法，但还是应用启发式能够迅速解决问题；还有些问题过于繁杂，实际 上是无法应用算法的。目前有影响的看法是：人类解决问题，特别是解决复杂的问题，主要是应用启发式。就小学数学解决问题的特点而言，应该是在重视算法的学习基础上，注重突出启发式的掌握。
分析小学数学解决问题中策略的类型，除了普遍的算法以外，启发式中通常有这样一些解决问题策略的类型，现简要分述如下：
(1)尝试。是指遇到一个从未见过的问题，从经验系统里没有现成的模式可直接利用，可以通过猜一猜、估一估、试一试的办法寻找解决问题的突破口。猜、估、试把新问题与已有的解题图式联系起来，并核对尝试的结果与问题的情况是否符合，从而获得问题解决的思维策略。
(2)综合。是指由已知条件出发向问题思考，把数学问题的各部分和各种因素联结起来考虑，从而使问题获得解决的思维策略。
(3)分析。是指与综合相反的，由问题出发向已知条件靠拢，把复杂的数学问题分解为若干简单的问题，逐个解决后最终使数学问题获得解决的思维策略。
(4)整理。是指通过列表、摘录条件等信息加工形式对数学问题中的有用条件得以保留、凸显、重组，以帮助学生顺利地理解题意，从而获得问题解决的思维策略。
(5)画图。是指通过根据数学问题画出实物简图、示意图、线条图、线段图等直观图形表达题意，以帮助学生加工信息，正确地审题、分析和检验，从而使数学问题得以顺利解决的策略。它是一种具体化的思维策略。
(6)枚举(列举)。是指通过列举学生熟悉的具体事实，使数学问题的情境具体化，解题的思路更加清晰，从而使问题得以顺利解决的思维策略。
(7)简化。即复杂问题简单化。是指对于一些叙述比较复杂的问题，可以去掉一些无关的因素，或者把大问题变化成几个小问题，使得问题中的因果关系比较清晰，使问题得以顺利解决的思维策略。
(8)倒推(还原)。是指由数学问题的结果出发，运用加与减、乘与除意义之间的互逆关系，从后向前一步步地推算，使问题得以解决的思维策略。
(9)假设。是指对于有两个或两个以上未知量的数学问题，思考时可以先假定要求的两个或几个未知量相等，或者先假定要求的两个未知量是同一个量，然后按照题目里的已知条件进行推算，并对照已知条件将数量上出现的矛盾加以适当调整，最后找到答案，使问题顺利解决的思维策略。
(10)转化(化归)。是指在遇到复杂的、陌生的新问题时，可以根据题目中存在的相等关系，把新问题通过换角度、换方式、换叙述、换处理方式的办法进行变化，使得陌生问题熟悉化、多元问题一元化、复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，使得问题的解决日益简捷，最终使问题获得解决的思维策略。转化的方式通常有难与易的转化、动与静的转化、顺与逆的转化、特殊与一般的转化、正与反的转化……
另外，马云鹏教授在《小学数学教学论》一书中列举了猜测、作图、举例、情境、
简化、验证、延伸等解决问题的策略；由黄希庭教授编著的《心理学导论》一书指出思
维的心智操作主要有分析、综合、比较、分类、抽象、概括和具体化。这些内容都有助
于我们对解决问题策略的启发式的理解，有兴趣的教师可以查阅。
三、小学生解决问题策略形成的年龄特征
由于小学生解决问题的策略属于学习策略或认知策略的范畴，我们使用逻辑推理的方法可以确定，小学生的学习策略发展是存在阶段性的。但这种发展阶段性的具体情况，尚需通过大量和系统的实证研究来确定，此类研究目前还不多见。为了能够使教师们在教学实践中触摸到一些小学生解决问题策略发展阶段的踪迹，我们不妨依据心理学家梅耶提出的认知策略发展的阶段学说，来推测学生解决数学问题策略的主要特征。
梅耶通过详细考察了学习与记忆中的复述策略、分类组织策略和表象加工策略的研究后，提出了儿童认知策略发展的早期、过渡期和后期三个阶段：(1)大致在学前期，儿童处于策略学习的早期阶段。此时儿童尚未掌握策略，能够自发地获得某些简单的策略，但并不能适当地应用这些策略。(2)小学时期，策略发展处于过渡时期。此时儿童已经自发地掌握了许多策略，但尚不能有效地运用这些策略来提高学习效率。如果成人给予策略上清晰的指导，则他们是能利用已有的策略来改进学习的。(3)初中和高中时期，策略发展处于后期阶段。某些青少年已经可以于某些领域在没有成人的指导下，自觉运用适当的策略改进学习并按需要调整策略。
另外，研究还表明：策略的复杂程度不同，出现的年龄水平也不同。越是比较复杂的策略，出现的年龄越晚，复杂程度高的策略出现的年龄就晚，如倒推、替换的策略就比画图、综合与分析的策略出现得晚。某些策略的出现似乎还存在着关键年龄。
由梅耶的理论我们可以简要地对小学生解决问题策略发展中呈现出的一些特征 作些分析：
(1)学生已经自发地掌握了许多解决问题的策略。如：三、四年级的学生在没有专门学习整理、列表、综合等策略前，有时也能够粗略地用这些策略解决一些问题了。(2)学生掌握的解决问题的策略由低年级到高年级日益丰富和复杂，但通常独自不能够有效地运用这些策略来提高学习效率。(3)小学生在成人的清晰指导下能够利用已有的策略改进学习。教学实践的经验告诉我们，在没有学习倒推的策略解决问题前，学生解决此类问题的正确率约为30％左右；经过教学和练习后，学生再次解决此类问题的正确率一般可以达到80％以上。(4)受小学生注意范围小、不善于分配自己的注意的特点和其他年龄特点的影响，他们比较适合学习比较单一的学习策略。如学生在解决一个需要两种策略结合使用的问题时，正确率就比只用一种策略的问题明显下降。
四、解决问题策略的可教学性问题
由于对“学习策略”的可教学性存在着两种对立的观点，因此，关于解决问题的策 略的可教学性问题，也有两种不同的看法。目前部分教师根据心理理论中的一些论 述，如“策略作为一组支配自己认知加工过程的技能，同其他认知能力的学习相比，可 能更多地受个体的基因影响。”“策略能力的学习比其他认知能力的学习更困难，而且个别差异可能更大。”“随着个体的自然生长，他们的元认知水平也得到不断的发展和成熟。……新的学习策略的能力也随之得到发展。”认为“策略”是不可以也是不需要教的，如沈重予先生在《浅说解决问题的策略及教学》一文中指出：“方法”可以从外部输入，而“策略”只能在内部滋生，我们可以通过讲解、示范、模仿，把方法教给学生，但无法代替他们形成策略。还有的教师认为：策略是在应用的基础上慢慢感受的，是不可教的。
根据前面叙述的有关解决问题的策略的本质，本人侧重于关注解题方法和解题策略之间的联系，比较赞同“策略”是可以进行教学的。主要理由有这样几点：(1)策略的本质是对内调控的程序性知识，它的应用是在一定的对外办事的规则(方法)指导下进行的，而这些规则是可以通过教学获得的，即解题策略是与解题方法紧密联系在一起的，策略不会脱离方法而单独存在，我们在进行方法教学的同时也就进行了策略的教学。(2)解题方法也是解题策略的一部分，当方法的教学进行到学生掌握了方法的本质，能够根据多变的问题情境，合理地使用方法解决问题时，学生实际上就掌握了策略。(3)尽管解题策略的优劣受学生智商的因素影响很大，但教学实践已经证明，通过解题方法的教学能够使大部分学生的解题策略水平得到提高，这也说明策略是可以教学的。这是因为，策略性知识是可以转化为程序性知识进行练习，进一步概括为陈述性知识进行必要记忆的。(4)解决问题可以视为信息加工过程和知识建构过程的统一体。其中图式获得和策略应用尤其能体现个体智力活动的目的性，因此，图式与策略正是目标指向的、旨在解决问题的心理结构和心理操作。这种心理操作当然是可以教学和训练的。(5)国内外已经有关于阅读推理策略、组织策略和儿童写作策略的教学的实验证明，只要方法恰当，策略性知识是完全可以教会的。(6)如果说策略不可以也没有必要进行教学的话，那么，小学数学教材中有关“解决问题的策略”的标题是否错误了?是否应该改为“解决问题的方法”才妥当呢?因此，紧扣策略与方法之间的密切联系分析问题，就会得出策略是可以教学的结论，并且我们还可以得出这样的基本结论：教会方法不一定形成策略，但形成策略一定是主要通过教会方法的途径实现的。
五、解决问题策略学习的一般过程及教学原则
考察“解决问题的策略”单元的教学过程，可以将解决问题策略的学习过程划分
为三个阶段：
策略的孕伏阶段。主要是指在学生的头脑中已经有某种策略的萌芽，且大部分学生对这种策略尚能够不自觉地运用，此时，在教学这种策略的单元前的练习中，可以先出现两三道用有关策略解决的问题，让学生尝试找到解决问题的最佳办法，为后面学习有关策略打下良好基础，起到策略学习的孕伏作用。
策略的感悟阶段。此阶段是解题策略的正式学习阶段，总体上要把握好四点：充分利用好教材资源是策略学习的基本点；善于引导帮助学生感悟策略是教学的支撑点；完善和丰富学生的学习方式是策略学习的着力点；能够在不同的情境中恰当运用策略是策略学习的目标点。这一阶段的教学大致可以划分为这样几个步骤：
(1)引入。在有关策略学习的例题前，能够设计恰当新颖的引入，可以有效诱发学生在解决问题策略学习时的心理需求。通常我们有三种引入的途径：一是情境引入，即创设有效的情境引入策略学习。如教学五年级(上册)“一一列举”策略的开始阶段，教师可以创设“小动物选择食物”的情境：三只小动物高高兴兴来到餐桌前，餐桌上有3种食物：薯条、鸡翅、甜筒。让学生讨论三只小动物依次各要选择1种、2种、3种食物，分别列举各有几种选法。这样引入十分生动有趣，而且为例题学习作铺垫。二是故事引入，通过与策略学习有关的生动有趣的故事引入学习。如学生学习“替换”的策略前，教师可通过讲“曹冲称象”的故事，引入教学。应该看到，许多短小有趣的故事中都隐含着某种策略，因此，故事引入是较常用的方法。三是先行组织者引入，即采用与策略学习有关的先导性材料让学生阅读或设计提示性的问题引导学生回答，为学习新策略作类比性引入学习。如在学习“倒推”的策略前，教师可以和学生一起体验行进路线的问题：从南京到上海的行进路线是“南京、镇江、常州、无锡、苏州、上海”，当从上海返回南京时，行进路线是“上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京”。这其中就含有“倒推”的过程，用此先行组织者帮助学生体会“倒推”的策略是可行的。
(2)体验。就是让学生在亲身经历的解题过程中获得对解题策略的意识和感受。教师应注意结合具体的例题，通过观察、操作、交流等活动，帮助学生初步体验所要学习策略的主要含义和操作步骤。教学时做到多让学生讲解决问题的分析思路，多让学生采用实践探究、合作交流等学习方式解决问题，体会解题的策略，教师要注意恰当地引导、点拨，不要包办代替学生的思维过程或将策略以定论灌给学生。
(3)归纳。在学生对解题策略已经有足够的认识后，教师就可以引导学生对用策略解决问题的过程进行必要的归纳，主要归纳以下几点：本课学习的策略是什么名称?用这种策略解决问题采用哪几个步骤?你是怎样思考的?运用某种策略解决；问题有什么好处?……一般对策略的名称可以在引入和归纳阶段出现，对于某种策略的准确含义则不需要学生准确叙述，重点归纳对策略如何运用和策略的作用。如，六年级(下册)“转化”策略的教学中，在教完例题，学生对转化的策略有了清楚的认识后，教师提问：通过今天的学习，你有什么收获?在学生讲出自己对转化策略的感悟后，教师进行如下总结：数学家认为，解题就是把新题目转化为已经解过的题，学习数学的过程就是不断转化的过程。即将复杂转化为简单、陌生转化为熟悉、抽象转化为具体、未知转化为已知……所以，掌握转化的策略，对学好数学很重要。
(4)练习。对归纳出的策略结合“试一试”或“练一练”的习题进行模仿练习或适
度的变化练习，帮助学生熟练地掌握策略在解决问题过程中的操作步骤，并让学生注意策略适用的条件。
策略的应用阶段。此阶段是在学生初步掌握策略的操作步骤(方法)的基础上，进一步熟练运用策略所体现的方法进行变式练习，使学生能够在新颖变化的问题情境中顺利地运用策略，达到策略学习的最终阶段。策略的有效形成需要学生对自己行为的不断反思，策略学习的反思活动将促进学生元认知能力的提升。因此，在策略的应用阶段，教师如果能引导学生对变化的情境进行多层次的反思，体会到解决问题策略存在的自身独有的价值与意义，就能够帮助学生在掌握解题策略的基础上实现解决问题能力的提高。
六、目前解决问题策略教学中存在的主要问题
就解决问题教学的现状看，目前存在的主要问题有这样一些：对教材理解没有到位，有意无意地按照过去应用题的方法进行教学，过多地说出解答结语，归纳题型特点；情境创设不合理或过分啰嗦，浪费了教学时间，影响了策略的学习；对策略教学的认识不足，觉得“学生已经会解答了，何必要运用策略”。于是，出现教师讲得多，较少让学生独立思考，造成学生机械模仿解决问题的方法；形式上采用了策略来解决问题，但到具体的作业阶段仍然不能灵活地运用策略解决问题，没有真正把握策略学习的本质。忽视解决问题策略形成的知识基础的教学，这是影响解决问题的正确性和策略形成的一个重要原因。应该看到，解决问题是人类思维的最一般的形式，图式与策略是人类知识的结晶，是高级智慧的载体和表现。学生在解决问题的过程中，图式与策略共同发生作用，而且相互联系。因此，解决问题的教学不应只重视策略教学而忽视图式的教学。图式是
表征一类程序、物体、知觉、事件、事件序列和社会情境的一组知识，它是概括性的陈述性知识，是陈述性知识的精华。解决问题中基本的数量关系、一步问题解答的规律性知识等都属于图式。对这些图式知识教学的忽视，造成部分学生解决问题的能力下降，进而影响解决问题策略的学习，这是应该引起我们广大数学教师足够重视的问题。
最后指出的一点是关于解决问题的策略内容的评价问题，本人以为仍是可以结合教材内容，选择难度和解答步骤均适当的题目进行考查的。
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