高中数学正态分布综合测试题及答案
一、选择题
1.下列函数中,可以作为正态分布密度函数的是()
A.f(x)=12e-(x-1)22
B.f(x)=12e(x-2)222
C.f(x)=12e-(x-)222
D.f(x)=12e-(x-
[答案] A
2.已知~N(0,62),且P(-20)=0.4,则P(2)等于()
A.0.1 B.0.2
C.0.6 D.0.8
[答案] A
[解析] 由正态分布曲线的性质知P(02)=0.4,P(-22)=0.8,P(2)=12(1-0.8)=0.1,故选A.
3.若随机变量~N(2,100),若落在区间(-,k)和(k,+)内的概率是相等的,则k等于()
A.2 B.10
C.2 D.可以是任意实数
[答案] A
[解析] 由于的取值落在(-,k)和(k,+)内的概率是相等的,所以正态曲线在直线x=k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等,于是正态曲线关于直线x=k对称,即=k,而=2.k=2.
4.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内()
A.(90,110] B.(95,125]
C.(100,120] D.(105,115]
[答案] C
[解析] 由于X~N(110,52),=110,=5.
因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.
由于一共有60人参加考试,
成绩位于上述三个区间的人数分别是:
600.682641人,600.954457人,
600.997460人.
5.(2010山东理,5)已知随机变量服从正态分布N(0,2),P(2)=0.023,则P(-22)=()
A.0.477 B.0.628
C.0.954 D.0.977
[答案] C
[解析] ∵P(2)=0.023,P(-2)=0.023,
故P(-22)=1-P(2)-P(-2)=0.954.
6.以(x)表示标准正态总体在区间(-,x)内取值的概率,若随机变量服从正态分布(,2),则概率P(||)等于()
A.+)--)
B.(1)-(-1)
C.1-
D.2+)
[答案] B
[解析] 设=||,则P(||)=P(|1)
=(1)-(-1).
[点评] 一般正态分布N(,2)向标准正态分布N(0,1)转化.
7.给出下列函数:①f(x)=12e-(x+)222;②f(x)=12e-(x-)24;③f(x)=12e-x24;④f(x)=1e-(x-)2,其中(-,+),>0,则可以作为正态分布密度函数的个数有()
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
[解析] 对于①,f(x)=12e-(x+)222.由于(-,+),所以-(-,+),故它可以作为正态分布密度函数;对于②,若=1,则应为f(x)=12e-(x-)22.若=2,则应为f(x)=122e-(x-)24,均与所给函数不相符,故它不能作为正态分布密度函数;对于③,它就是当=2,=0时的正态分布密度函数;对于④,它是当=22时的正态分布密度函数.所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数.
8.(2008安徽)设两个正态分布N(1,21)(0)和N(2,22)(0)的密度函数图象如图所示,则有()
A.2,2
B.2,2
C.2,2
D.2,2
[答案] A
[解析] 根据正态分布的性质:对称轴方程x=,表示总体分布的分散与集中.由图可得,故选A.
二、填空题
9.正态变量的概率密度函数f(x)=12e-(x-3)22,xR的图象关于直线________对称,f(x)的最大值为________.
[答案] x=3 12
10.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为________.
[答案] 1
[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.
∵区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线x=1对称,所以正态分布的数学期望就是1.
11.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(0),若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为____________.
[答案] 0.8
[解析] ∵=1,正态曲线关于直线x=1对称.
在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等.
12.(2010福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032),为使该厂生产的产品有95%以上的合格率,则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________.
[答案] (24.94,25.06)
[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25-20.03,25+20.03)取值的概率在95%以上,故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06).
三、解答题
13.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于142.求该正态分布的概率密度函数的解析式.
[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象即正态曲线关于y轴对称,即=0.而正态密度函数的最大值是12,所以12=124,因此=4,故该正态分布的概率密度函数的'解析式是,(x)=142e-x232,x(-,+).
14.(2010邯郸高二检测)设随机变量~N(2,9),若P(c+1)=P(c-1),求c的值.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①~N(2,9),②P(c+1)=P(c-1).
解答本题可利用正态曲线的对称性来求解.
[解析] 由~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),
又P(c+1)=P(c-1),
故有2-(c-1)=(c+1)-2,
c=2.
[点评] 解答此类问题要注意以下知识的应用:
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1;
(2)正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相等.
(3)P(xa)=1-P(xa)
P(x-a)=P(x+a)
若b,则P(xb)=1-P(x+b)2.
15.某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202),该工厂共有1200名工人,试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少?
[解析] 设该工厂工人的月收入为,则~N(500,202),所以=500,=20,
所以月收入在区间(500-320,500+320)内取值的概率是0.9974,该区间即(440,560).
因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200(1-0.9974)=12000.00263(人).
16.已知某种零件的尺寸(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+)上是减函数,且f(80)=182.
(1)求概率密度函数;
(2)估计尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的百分之几?
[解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值,因此得=80.
12=182,所以=8.
故概率密度函数解析式是,(x)=182e-(x-80)2128.
(2)尺寸在72mm~88mm之间的零件的百分率,即在(80-8,80+8)之间的概率为68.28%.
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