物理极值问题的求解方法2

物理极值问题的求解方法2

物理极值问题的求解方法2

三、用一元二次方程判别式求解极值问题

   在中学代数中曾学过，对于一个一元二次方程，当它的判别式B2-4AC≥0时，此方程有实数解。若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？

分析与解：设电子碰前的速度为υ1，碰后的速度为，静止的原子被碰后的速度为。

    由动量守恒定律有 (1)

    由能量守恒有 (2)

    在以上两个方程中，有三个未知数，υ1、、，一般的同学认为少一个方程，难以求解。但由（1）式解出代入（2）

    可得：

    进一步整理可得：(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0

    此式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式B2-4AC≥0 即

    4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0

    根据上式整理可得：

    所以电子必须具有的最小的初动能是

例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。

分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R，速率为υ。

    由正交分解可得

    联立（1）、（2）试可得

    上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解，由B2-4AC≥0

    即

    ∴小球作圆周运动的最小半径为

例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ0，求υ0与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程Xmax。

分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。

    上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解，则判别式B2-4AC

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