高等数学学习中错误的再认识论文

高等数学学习中错误的再认识论文

　　【摘要】 学生在高等数学的学习中，出现错误是在所难免的，有其合理的一面。教师要看到数学学习的过程，本就是一个不断的探索、修正、提高，升华的过程。充分利用学习过程中的错 误，激发学生的认知冲突，引导学生进行反思。把错误变成有效的教学资源。

　　【关键词】 错误； 合理性； 认知； 反思

　　在数学学习中，学生对于知识的理解、掌握乃至应用会出现形形色色的错误。随着近年来现代认知心理学与数学教育哲学研究的深入，对于数学学习中产生的“错误”，人们的态度也发生了转变：从以前的纯粹否定转而对“错误”的类型进行理解和分析，并力求去发现其中的积极成分。笔者认为，对于错误加以充分的分析和利用，不仅可以使教师及时找出错误的原因，掌握学生对相关知识的学习情况，了解他们在认知结构上的成熟度，还可以使“错误”成为有效的教学资源，引导并帮助完善、更新认知结构，调控思维方向，进行反思性学习等，达到优化教学的目的。

　　1 高等数学学习中错误的合理性

　　1.1 从学习者的角度 李善良先生曾经明确提出在数学概念的学习中可以将错误区分为“过程性”合理性错误，并指出所谓“合理性”错误，“是指学生在数学学习中阶段、水平的转变及不同的个性倾向等所带来的概念的学习障碍而造成的一类错误”［1］。这类错误具有隐蔽性、长期性，并带有“合理性”、“规律性”和“不可避免性”。笔者以为，这一论断可以推广到数学学习的全过程。

　　在数学学习的过程中，随着学习进程的深入，势必会更新已有的认识经验，进入新的认知层次，其思维模式和认知结构也必须不断进行调整和和重新构建。然而，学生在先期学习中的模式、结构以及产生的一些习惯已经稳固地存在他们的头脑中，所以学习新知识时，由惯性而带来的一些在思维、认知中的弊端就会凸现出来，形成数学知识学习的障碍而产生错误，产生负迁移。建构主义认为，错误就是学生利用已有的知识经验，主动构建的结果，是“意义赋予”的产物。数学学习的过程，本就是一个不断的探索、修正、提高，升华的过程。由此可见，错误是其中不可避免的一个环节。“个体的成长不仅是由于反抗他内部的错误性，而且也是依靠他内部的错误性”［2］。 通过错误的发现和解决，才能构建真正意义上的新知，把认知从已有的不良结构领域向良好结构领域转变，并进一步补充和完善，从而实现思维的发展。

　　1.2 从教师的角度

　　在医用高等数学的教学中，由于课时紧，教学任务重，（涉及的高等数学知识涉及数学分析、微分方程、线性代数、概率统计等多门高等数学的分支），许多教师常常对学生采用自觉不自觉的采用了大容量、快节奏的“满堂灌”的授受方式，其结果是导致学生对所学或是知识一知半解、或者体会不深刻，直接导致了最终形形色色的错误产生，甚至使学生产生畏难、厌学的情绪。而教师对于学生在数学学习中过程中产生的错误不重视，或者视而不见，更有甚者，基本上在课堂上就剥夺了学生“犯错误”的机会，只是将正确的、“标准”的答案一再重复，这种方式表面上看是面面俱到，完美无缺，却不知剥夺了学生犯错误的机会，也就是剥夺了学生思考的空间，使得他们失去了体验数学、感受数学的过程，从而也就失去了真正领悟数学思想方法和丰富情感体验的机会，是得不偿失的。

　　2 错误的意义、价值

　　错误的产生不仅具有合理性的一面，对新知的构建、思想方法的理解还有着重要意义和极大价值的。

　　2.1 构成认知的冲突，激发求知欲（动机理论）

　　在学习新知识之前，学生头脑中已有的知识经验、认知结构会对新的知识产生影响。学习高等数学以前，学生接触的大都是初等数学的内容。而初等数学和高等数学由于学习的内容和思想方法的不同（从有限到无限，从一元到多元等等）很多学生不能很快的实现这一转化，以前的知识结构、思想方法直接迁移或者推广到高等数学学习中从而产生错误。

　　例如：求极限：limn→∞(1+2+…nn2) ，学生很自然的了解每一项趋于0，一共有多少项呢？不少学生回答：n项。那么结果呢？很多学生熟悉结果，答曰：1/2。或者进行争论：应该是0 啊！为什么会出现这样的结果呢？学生自己会反思，得到n→∞ 的结论，自己会发现有限的结论不能直接应用与无限项。这样构造了认知冲突，比直接阐述告知：“有限个无穷小的代数和仍为无穷小”效果会好许多。

　　我们可以认为，尽管在学习过程中学生会时常出现这样那样的错误，从表面上看，教学过程似乎不是那么“完美”。但是，正是这类错误导致的矛盾和谬误，才更能引起学生的怀疑和求知的动力。在这样的怀疑和冲突中，强烈的求知欲被激发，思维的火花被点燃，他们才能更积极地、主动地、深入地去探索和把握数学知识的本质属性，调整和构建新的、正确的思维模式和认知结构。也正是通过不断地“引起认知冲突”，对所产生的怀疑和冲突不断地加以消除，才能最终促进学生的认知不断发展和完善。

　　2.2 促进教学反思

　　教学反思，是教学活动中极为重要的但往往在实际教学中被忽略了的环节。很多学生不知道反思，或者不知如何进行反思，笔者以为，学习中“错误”的出现是进行反思的良好契机。

　　2.2.1 发现错误，反思的最佳时机：学生在高等数学的学习中，出现错误是在所难免的。有时候，为了更好的突出或者强调某个重点，教师在必要时可以预设错误，有意识地给学生造成思维障碍。而当错误出现，学生思维受阻时，就是进行反思的最好时机。

　　在讲解洛必达法则时，学生对limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=limx→af″(x)F″(x)=L 这种形式非常喜欢，往往容易忽视洛必达法则的使用条件。于是教师让学生判断：limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞(1-sinx) 是否正确，是否可以说极限不存在，洛必达法则失效？在学生议论、争论时，教师适时地加以引导，让他们反思定理的使用条件，印象会更加深刻。

　　例如：求证 sin(x2sin1x) 是x的高阶无穷小，很多学生会给出这样的证明：

　　证： limx→0sin(x2sin1x)x=limx→0x2sin1xx=limx→0xsin1x=0

　　∴ sin(x2sin1x) 是x的高阶无穷小。

　　这个推演过程是不正确的。但是，又是学生在解题时常常会犯的错误。

　　显然，学生在第一步对等价无穷小替换方法的使用出现了不恰当迁移，即认为当 x→0 时，有sinx等价于x, ∴ 当x→0时，自然有sin(x2sin1x) 等价于x2sin1x ， 事实上，学生往往忽视了等价无穷小进行比较时，要求有“作为分母的函数在变化过程中不能为零”（当x=1nπ时 ，分母为0）这一重要条件，所以导致了错误。

　　教师要给学生充分的、尝试错误的机会，并使其在错误中进行反思，找到问题的症结所在，既达到沟通新旧知识，发现问题的本质特征，又可以进一步深化对所学知识、思想方法的理解，优化认知结构。

　　2.2.2 纠正错误，反思思维的靶向性： 出现了错误，及时进行反思，以调整自己的思维，这一策略随着教学的推进，很多学生也逐渐意识到其重要性。如何解决和纠正错误，就涉及到反思的方向问题。但是反思什么，如何反思，怎样调整思维策略，具体的方向怎样，是他们所不知道的。教师要在此时，结合具体的例子，具体的分析，引导或者帮助学生掌握一定的思考方向，减少活动的盲目性、试误性，增加成功的概率，即所谓靶向性的养成，形成良好的思维习惯，优化思维品质。

　　例如：判断：若f(x)在闭区间上有原函数F（x），问f(x)是否可积？

　　对于这样的问题，很多学生理所当然的认为有原函数就是可积，两者是等价的。当教师给出否定的答案时，他们显得茫然无措，不知道所以然，更不知遇到此类问题应该从哪个方向思考。由于课时的原因，我们直接给出了反例，可以说明函数具有原函数和可积是没有必然联系的。

　　f(x)=2xcon1x2+ 2xsin 1x2, x∈(0,1］

　　0, x=0

　　而：F(x)=f′(x)=x2sin1x2, x≠0

　　0, x=0

　　但是学生仅仅记住或者知道这个结论是没有任何意义的。于是引导学生思考什么是原函数?可积是在什么时候提出的概念？

　　错误的结果使学生激起了探索、求知的欲望，在教师层层推进的问题中，学生逐渐明确了思维方向，及时调整、改进了自己的思维策略，使得思考更有针对性，促进学生对自我认知的调控。

　　2.2.3 回顾错误的解决过程，形成反思习惯：一个数学问题解决后，并不意味着活动的结束，学习者要回顾整个问题的解决过程，分析错误产生的原因，是因为认知结构的不够完善，还是由于错误的、不充分的信息的加入，包括所涉及的知识点和数学思想方法，学生自己的思考过程中的方向问题，力求甄别出认知结构中结构良好的领域以及需要完善的领域等等，形成良好的反思习惯。

　　此外，除了引导学生及时地进行反思性学习外，教学反思还应该包括教师对教学的全过程的反思。教师的反思应该着眼于针对相关知识进行的教学设计、学生的学情，教学实施的具体过程以及结果进行反思。在错误发生时以及课程结束后，教师也要根据学生出现的具体情况，积极进行自我反思：包括教学的过程是否和教学的设计相符合，调控，学生出现错误是由于强调的不够还是偶尔的疏忽，甚至是自己理解的偏差，以后的教学还需要在哪些方面作出调整等。同时，及时准确的发现错误、识别错误，甚至有意识地预设错误，或者把错误引而不发以给学生自己改正错误的机会等等，无一不对教师自身提出了更高的要求。教师要不断的提高自身的修养，力求使教学水平不断提高。

　　【参考文献】

　　1 李善良． 数学概念学习中的错误分析．数学教育学报，2002,8.

　　2 郑毓信． 数学教育的现代发展．南京： 江苏教育出版社，1999.

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