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从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)
从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)许季龙 3月20日 中学数学里的方程、不等式与函数间的联系是双向的：一方面函数的整体性认识要得到议程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看，这后一方面的联系，显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸，举例谈谈关于某些方程、不等式的解，可以从六个方面考虑。
一 从函数定义域考虑
例1 解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1
解 设f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2,则f(x)的定义域取决于
下面不等式组的解：
二 从函数值域考虑
例2 解方程
(x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2= 4-2x2+x4.
解 设f(x)= (x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2
g(x)= 4-2x2+x4
因为f(x)= [(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2≥5；
g(x)= 5-（x2-1）2+x4≤5。
仅当x-1=x3-1=x2-1=0时, f (x)= + g(x)，从而推出原方程的解为x=1。
例3 解方
x+1/x=sinx+31/33cosx.
解 令=x+1/x,
g(x)=sinx+31/3cosx
易证:| f(x)|= | x+1/x|=|x|+1/|x|≥2;
|g(x)|=| 2sina(x+π/3|≤2
但是当|f(±1)|=2时,但是当| g (±1)|≠2时.所以原方程没有
解.
三 结合函数定义域、值域考虑
例4 解方程
（3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2=2x-4
解 令f(x)= （3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2,
g(x)= 2x-4.
∵f(x)≥0,∴g(x)= 2x-4≥0.于是x≥2.
又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)≥0;
2x2-x-6=(x-2)(2x+3)≥0
所以, f(x)、g(x)的定义域是x≥2。在此条件下原方程又可化
为：
(x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解为下列方二程
之解：
x-2=0； （1）
(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2
(2)
解（1）得x=2；而（2）没有解，事实上，将（2）式移项得
(3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法，得到
(2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/2+(2x+3)1/2
当x≥2时，上式左边函数值为正，右边的函数值为负。得出矛盾。
经检验原方程仅有一解x=2。
四 结合函数性质考虑
例5 解方程（2x+7）1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2
解 设f(x)= (2x+7)1/2；g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它们共
同的定义域里，f(x)严格递增，g(x)严格递减且原方程与方程f(x)=- g(x)同解.显然 f(1)=g(1),并且x>/时,时,f(x)>f(1)=g(1)>g(x);
x<1时,f(x) 这就是说f(x)=g(x)仅有一解`x=1.
例6 解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3.
解 设不等式左边为f(x),不难确定其定义域是[-1/2,0)∪
(0,1/2].当02)1/2],容易看出,它的分子不超过2,分母总是不小于1的.因此,0 推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1
[1] [2]
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