应用题数学模型的二重性与层次性
本文通过具体的解题案例，探讨应用题数学模型的二重性与层次性．
?1 原型与模式——应用题数学模型的二重性
?这是一道很普通的应用题（有“鸡兔同笼”的背景），但涉及一些观念层面上的道理，在与大学生和中学教师的交谈中，大都表示没有认真思考过．先看题目：
?例1 某运货公司有两种车型共28辆，Ａ型车可载重5吨，Ｂ型车可载重4吨，如果各车满载一次可送货128吨，问两种车型各有几辆．
?1．1 从常规求解过程中提出问题
?用二元一次方程来处理这个问题，是一个简化的数学建模过程．通常设Ａ型车有ｘ辆，Ｂ型车有ｙ辆，根据“两种车型共28辆”所提供的等量关系，可得方程
?ｘ＋ｙ＝28． ①
?再根据“Ａ型车可载重5吨，Ｂ型车可载重4吨”，“各车满载一次可送货128吨”所提供的等量关系，又得方程
?5ｘ＋4ｙ＝128． ②
?然后，将①式两边乘以4，得
?4ｘ＋4ｙ＝112． ③
?②－③，得ｘ＝16． ④
?代入①，得ｙ＝12． ⑤
?故Ａ型车有16辆，Ｂ型车有12辆．
?还可用5×①－②先求ｙ等多种方式来解方程组，总之，有初中的代数知识就不难完成．笔者询问大学生或中学教师对此能提出什么疑问时，均认为很完整了，提不出什么问题来．于是，笔者提出两个问题，并声明没有标准答案，以鼓励畅所欲言．
?问题1 方程①反映的是车辆总数的一个平衡式，方程②反映的是车辆一次满运货总吨数的一个平衡式，两者建立时的单位是不一致的，如何理解它们之间的加减运算?
?问题2 作为解题过程的分析，如何给每个运算步骤一个生活现实的解释?
?对第1个问题，被询问者大都感到意外，表示从未思考过；对第2个问题，则结合第1个问题，统一单位，有信心提出一些解释．
?1．2 给求解过程一个生活解释
?给解方程的消元过程一个生活解释，可以理解为“出声思维”的一种形式，它能使抽象的模式具体化，能使形式化的运算有生活化的气息．
?（1）有的被询问者说，可以认为方程①中的每辆车都装了1吨货物，这样两方程的单位就一致了．对此，笔者又提出一个问题．
?问题3 如果ｘ、ｙ都看成ｘ吨、ｙ吨，其和为28吨，那么，求出ｘ＝16，ｙ＝12后，为什么又成为16辆Ａ型车，12辆Ｂ型车呢?
?对此，被询问者不能马上给出回答．
?（2）关于问题2，通过交流提出了这样的解释：
?1）假设每辆车都装4吨，那么28辆车便可装112吨，这就是4×①得③式；
?2）但Ａ型车每辆可装5吨，比假设的装4吨还多1吨，因而真实装车的128吨（见②式）减去假设的112吨（见③式），所得多装的16吨数字，恰好对应着Ａ型车的辆数，这就是②－③得出④式．
?这个解释首先是用“吨”来统一两个方程的单位，然后用“一一对应”的观点来回答问题3：由于每辆Ａ型车可装5吨，比假设各车装4吨还多1吨，在运算 ②－4×①之后，对Ａ型车而言，1吨对应着1辆车，1辆车对应着1吨，于是16吨就对应着16辆Ａ型车．
?上述解释，实际上已给出了本题的一个算术解法：
?Ａ型车数＝128－4×28． ⑥
?同理，对方程组进行5×①－②运算，可得
?Ｂ型车数＝5×28－128． ⑦
?把例1中的数字换成字母，则⑥、⑦便给出了问题的求解公式．
?1．3 从求解过程看方程模型的二重性
?上面，将两方程的单位统一为“吨”给出了一种解释；读者也可以将5ｘ看成Ａ型车的5倍，将4ｙ看成Ｂ型车的4倍，把单位统一为车的“辆”数，给出解释；或者还可以对加减消元给出更多的生活解释．这是一个开放性、发散性的问题，值得在解题训练中提倡．
?但是，这种训练主要体现了方程模型①、②等的一个侧面——与生活现实的联系．其实
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