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逻辑推理中猜数问题的研究
作 者:张宁
【目的和思路】
研究典型的“思维嵌套”问题——猜数问题，从问题的本质入手分析，避免了表面上的“思维嵌套”，使得解决问题的效率大幅度上升。
【制作过程】
首先对问题的原形产生了浓厚的兴趣，经过一系列深入的思考，将描述性的解决过程表达为严格的数学证明，同时也发现了问题可以继续推广，结合计算机来辅助研究，将问题两次推广，并最终较为圆满地解决了问题。
【科学性】
采用了严格的数学方法，经过详细的讨论得出了一系列结论。
【先进性】
采用初等数学的手段来研究一个规模化的逻辑推理问题，采用的证明方法也具有相当的创造性。
【实用性】
这类问题在数理逻辑和计算机科学中有较大的意义，这种解决逻辑推理问题的新思路，将会对这一类问题的解决产生影响。
【创新点】
摒弃了考虑逻辑推理问题的常规思路，从“思维嵌套”问题的本质入手分析，并证明了数个重要结论，并且在证明过程中，采用了多元数组及分组等概念来描述推理过程中的情形，并采用记号将抽象的推理过程用数学加以证明，在理论上有一个飞跃。
在逻辑推理中有一类比较特殊的问题——“思维嵌套”问题，即在C的脑海中要考虑B是如何思考A的想法。这种问题通常非常抽象，考虑情况又十分繁多，思想过程极其复杂，用一般方法分析效果极差。
一、问题原形
一位逻辑学教授有三名善于推理且精于心算的学生A，B和C。有一天教授给他们三人出了一道题：教授在每个人的脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条都写了一个大于0的整数，且某两个数的和等于第三个。于是，每个学生都能看见贴在另外两个同学头上的整数，但却看不见自己的数。
教授轮流向A，B和C发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，他突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。
我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数。
我们先分析一个简单的例子，观察每个人是如何进行推理的。
假设A，B和C三人，头上的数分别是l，2和3。
l. 先问A
这时，A能看见B，C两人头上的数分别是2，3。A会发现自己头上只可能为3+2=5，或者3-2=1。可到底是l还是5，A无法判断，所以只能回答“不能”。
2.再问B
B会发现自己头上只可能为3+1=4，或者3-1=2。可到底是2还是4，B只能从A的回答中入手分析：(以下为B脑中的分析)
如果自己头上是2。则A能看见B，C两人头上的数分别是2，3，A会发现自己头上只可能为3+2=5，或者3- 2=1。到底是l还是5，A无法判断，只能回答“不能”。这与A实际的回答相同，并不矛盾，所以B无法排除这种情况。
如果自己头上是4。则A能看见B，C两人头上的数分别是4，3，A会发现自己头上只可能为4+3=7，或者4-3=１。到底是l还是7，A无法判断，只能回答“不能”。这也与A实际的回答相同，并不矛盾，所以B也无法排除这种情况。
B无法判断，只能回答“不能”。
3．再问C
C会发现自己头上只可能为2+1=3，或者2-1=l。可到底是l还是3．C只能从A或B的回答中入手分析：(以下为C脑中的分析)
如果自己头上是1。
A会发现自己头上只可能为2+l=3，或者2-1=1。可到底是l还是3，是无法判断的，只能回答“不能”。这与A实际的回答相同，并不矛盾。
B会发现自己头上只可能为1+1=2(因为B头上是大于0的整数，所以B头上不能是1-l=0)。B应回答“能”。但这与B实际的回答矛盾。C能以此排除头上是1这种情况。
继续分析C头上是3这种情况，会发现毫无矛盾(与实际情况相符)。
C将准确判断头上的数是3，所以回答“能”。所以在第三次提问时有人猜出头上的数。
我们从每个人的角度出发，分析了头上数是l，2和3的情况。这种方法也是我们解决简单的逻辑推理问题所采用的普遍做法。但如果将问题的规模变大，会发现问题的复杂程度会急剧上升，几乎是多一次推理，问题的复杂度就要变大一倍。
靠如此烦琐的推理是不能很好解决问题的。原因在于有大量的“思维嵌套”。即：在C的脑海中要考虑B是如何思考A的想法。此外，这种方法不能够推导出有普遍意义的结论。让我们换一种思路来解决问题。
下面我们用第一位、第二位、第三位学生分别表示A，B，C三人。
经推论，无论三个数如何变化，无论从谁开始提问，必然是头上数最大的人最先猜出自己头上的数。
由上述结论，对于，(a1,a2,a3,k)可以定义f(a1,a2,a3,k)的递推式：
当k=1时
当a2=a3时，f(a1,a2,a3,1)=1
当a2＞a3时，f(a1,a2,a3,1)=f(a2-a3,a2,a3,2)+2
当a2＜a3时，f(a1,a2,a3,1)=f(a3-a2,a2,a3,3)+1
当k=2时
当a1=a3时，f(a1,a2,a3,2)=2
当a2＞a3时，f(a1,a2,a3,2)=f(a1,a1-a3,a3,1)+1
当a2＜a3时，f(a1,a2,a3,2)=f(a1,a3-a1,a3,3)+2
当k=3时
当a1=a2时，f(a1，a2，a3，3)=3
当a1＞a2时，f(al，a2，a3，3)=f(a1，a2，a1-a2,1)+2
当al＜a2时，f(a1，a2，a3，3)=f(a1，a2，a2-a1,2)+1
由于我们只考虑(a1，a2，a3，k)∈= S3，因此k可由a1,a2,a3三个数直接确定，因此f(a1,a2,a3,k)可以简化为f(a1,a2,a3)。
利用上面的公式，通过计算机编程来辅助解决问题。
由于建立了线性的递推关系，因此避免了问题规模随着提问次数呈指数型增长，有效地解决了问题，其解决方法是建立在对问题的深入分析之上的。现在让我们总结解决问题中思路的主线：
提炼重要的前提条件→考虑何种情形为“终结情形” →对非“终结情形"建立推理的等价关系→考虑何种情形能归结到“终结情形”→分情况讨论并加以证明→得出结论并改写等价关系→得出公式。
整个过程是从分析问题的本质入手，而非一味单纯地从每个人思想出发，并推导出普遍意义的结论。从全局的角度分析问题，避免了最烦琐的“思维嵌套"，并且使得问题规模从指数型转变为线性。
二、第一种推广
一位逻辑学教授有n(n≥3)名非常善于推理且精于心算的学生。有一天，教授给他们出了一道题：教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个大于0的整数，且某个数等于其余n-1个数的和。于是，每个学生都能看见贴在另外n-1个同学头上的整数，但却看不见自己的数。
教授轮流向学生发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，此人突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。
我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数，分析整个推理的过程，并总结出结论。
经推论，无论n个数如何变化，无论从谁开始提问，必然是头上数最大的人最先猜出自己头上的数。
由上述结论，对于(a1,a2…,an,k)，可以定义f((a1,a2…,an,k)的递推式：
当2W-M≤0时，f((a1,a2…,an,k)=k，
当2W-M>O时
设ai’=ai，其中，i≠k，ak’=2W-M
当v＜k时，f(a1,a2…,an,k)=f(a1’,a2’…,an’,v)+k-v
当v＞k时，f(a1,a2…,an,k)=f(a1’,a2’…,an’,v)+n-k+v
由于我们只考虑(a1,a2…,an,k)∈=S3，因此k可由n个数直接确定，因此f(a1,a2…,an,k)可以简化为f(a1,a2…,an)。
利用上面的公式，通过计算机编程来辅助解决问题。
至此，第一种推广情形就解决了。可以发现n=3时情形的证明，对解决一般情形提供了很好的对比，使得我们能够较为轻松地解决问题，这其实也是建立在对n=3时的情形的分析之上的。
三、第二种推广
一位逻辑学教授有n(n≥3)名非常善于推理且精于心算的学生。有一天，教授给他们出了一道题：教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个大于0的整数，并将他们分成了两组(一组学生有m人，(m≥n／2)，且学生并不知道如何分组)，且两组学生头上数的和相等。于是，每个学生都能看见贴在另外n一1个同学头上的整数，但却看不见自己的数。
教授轮流向学生发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，此人突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。
我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数。
由于当n=3时，m只可能为2，即为问题原形，而对于m=n-1，即第一种推广情形。因此只讨论n＞3，m＜n-1时的情形。
对于每个人判断自己头上的数，依据分组情况不同，头上的数就可能不同。
对(A1，A2，…,An，k)，第k位学生可以看见除自己外所有学生头上的数，并假设在某种分组情况下，可以计算出与自己不同组的学生头上数的和，由题目条件“两组学生头上数的和相等”，可以计算出自己头上的数。由于有Cmn种分组情况，因此相对应头上的数有Cmn种(其中可能也包括了一部分重复的数及非正整数)。
经推论，不存在情况使逻辑推理中猜数问题的研究得没有人能够猜出头上的可能，且推理时四个数始终在减小，因此经过有限次推理之后，必然达到“终结情形”。
而对于第一种推广情形，即n=4，m=3，必然有人能猜出自己头上的数。因此n=4时的一切情况，必然有人能猜出自己头上的数。
由于现在的推理在加强判定的情况下，依然可能出现多种考虑情况。所以推理已不是线性的推理，整个推理过程将成为树状结构。
由于分组情况繁多，而且判定方式也比较复杂，因此这时计算f(A1，A2，…，An，k)的值已经非人力能够解决，但是可以利用上述证明的结论，依靠计算机强大的计算功能辅助解决问题。
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