高中数学教案：圆的标准方程

高中数学教案：圆的标准方程

　　1.教学目标

　　(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

　　2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.

　　(2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

　　2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

　　3.增强学生用数学的意识.

　　(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

　　2.教学重点.难点

　　(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.

　　(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

　　当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

　　3.教学过程

　　(一)创设情境(启迪思维)

　　问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

　　[引导] 画图建系

　　[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)

　　解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

　　将x=2.7代入,得 .

　　即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

　　(二)深入探究(获得新知)

　　问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?

　　答:x2 y2=r2

　　2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?

　　[学生活动] 探究圆的方程。

　　[教师预设] 方法一:坐标法

　　如图,设m(x,y)是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}

　　由两点间的距离公式,点m适合的`条件可表示为 ①

　　把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

　　方法二:图形变换法

　　方法三:向量平移法

　　(三)应用举例(巩固提高)

　　i.直接应用(内化新知)

　　问题三:1.写出下列各圆的方程(课本p77练习1)

　　(1)圆心在原点,半径为3;

　　(2)圆心在 ,半径为 ;

　　(3)经过点 ,圆心在点 .

　　2.根据圆的方程写出圆心和半径

　　(1) ; (2) .

　　ii.灵活应用(提升能力)

　　问题四:1.求以 为圆心,并且和直线 相切的圆的方程.

　　[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.

　　2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程.

　　[学生活动]探究方法

　　[教师预设]

　　方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)

　　方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)

　　方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]

　　方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)

　　3.你能归纳出具有一般性的结论吗?

　　已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是: .

　　iii.实际应用(回归自然)

　　问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱 的长度(精确到0.01m).

　　[多媒体课件演示创设实际问题情境]

　　(四)反馈训练(形成方法)

　　问题六:1.求以c(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.

　　2.已知点a(-4,-5),b(6,-1),求以ab为直径的圆的方程.

　　3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程.

　　4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程.

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