第二册不等式证明

时间：2023-05-02 02:31:45 高中数学教案我要投稿

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第二册不等式证明

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

第二册不等式证明

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1．求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) - 3x =

∴x2 + 3 > 3x

2．已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

证：

∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 , b - a > 0

∴ 即：

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

3．已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)

=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0

即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

则：可得：

∴

∵S, m, n都是正数，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m =n，结果会怎样？

三、作商法

5．设a, b R+，求证：

证：作商：

当a =b时，

当a > b > 0时，

当b > a > 0时，

∴ （其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业： P15 练习

P18 习题6.3 1—4

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