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第一册已知三角函数值求角
【教学课题】: 已知三角函数值求角
【教学目标 】: 了解反三角函数的定义,掌握用反三角函数值表示给定区间上的角
【教学重点】: 掌握用反三角函数值表示给定区间上的角
【教学难点 】: 反三角函数的定义
【教学过程 】:
一. 问题的提出:
在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况,如果是特殊值,我们可以立即求出所有的角,如果不是特殊值( ),我们如何表示 呢?相当于 中如何用 来表示 ,这是一个反解 的过程,由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性,它们不存在反函数,这就要求我们把它们的定义域缩小,并且这个区间满足:
(1)包含锐角;(2)具有单调性;(3)能取得三角函数值域上的所有值。
显然对 ,这样的区间是 ;对 ,这样的区间是 ;对 ,这样的区间是 ;
二.新课的引入:
1.反正弦定义:
反正弦函数:函数 , 的反函数叫做反正弦函数,记作: .
对于 注意:
(1) (相当于原来函数的值域);
(2) (相当于原来函数的定义域);
(3) ;
即: 相当于 内的一个角,这个角的正弦值为 。
反正弦:符合条件 ( )的角 ,叫做实数 的反正弦,记作: 。其中 , 。
例如: , , ,
由此可见:书上的反正弦与反正弦函数是一致的,当然理解了反正弦函数,能使大家更加系统地掌握这部分知识。
2.反余弦定义:
反余弦函数:函数 , 的反函数叫做反余弦函数,记作: .
对于 注意:
(1) (相当于原来函数的值域);
(2) (相当于原来函数的定义域);
(3) ;
即: 相当于 内的一个角,这个角的余弦值为 。
反余弦:符合条件 ( )的角 ,叫做实数 的反正弦,记作: 。其中 , 。
例如: , ,由于 ,故 为负值时, 表示的是钝角。
3.反正切定义:
反正切函数:函数 , 的反函数叫做反正弦函数,记作: .
对于 注意:
(1) (相当于原来函数的值域);
(2) (相当于原来函数的定义域);
(3) ;
即: 相当于 内的一个角,这个角的正切值为 。
反正切:符合条件 ( )的角 ,叫做实数 的反正切,记作: 。其中 , 。
例如: , , ,
对于反三角函数,大家切记:它们不是三角函数的反函数,需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质,有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于 对称这一特性,得到反三角函数的性质。根据新教材的要求,这里就不再讲了。
练习:
三.课堂练习:
例1.请说明下列各式的含义:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) 。
解:(1) 表示 之间的一个角,这个角的正弦值为 ,这个角是 ;
(2) 表示 之间的一个角,这个角的正弦值为 ,这个角不存在,即 的写法没有意义,与 , 矛盾;
(3) 表示 之间的一个角,这个角的余弦值为 ,这个角是 ;
(4) 表示 之间的一个角,这个角的正切值为 。这个角是一个锐角。
例2.比较大小:(1) 与 ;(2) 与 。
解:(1)设: , ; , ,
则 , ,
∵ 在 上是增函数, ,
∴ ,即 。
(2) 中 小于零, 表示负锐角,
中 虽然小于零,但 表示钝角。
即: 。
例3.已知: , ,求: 的值。
解: 正弦值为 的角只有一个,即: ,
在 中正弦值为 的角还有一个,为钝角,即: ,
所求 的集合为: 。
注意:如果题目没有特别说明,结果应为准确值,而不应是近似值,书上均为近似值。
例4.已知: , ,求: 的值。
解: 余弦值为 的角只有一个,即: ,
在 中余弦值为 的角还有一个,为第三象限角,即: ,
所求 的集合为: 。
例5.求证: ( )。
证明:∵ ,∴ ,设 , ,
则 ,即: ,即: ,
∵ ,∴ ,
∴ ,∴ ,即: 。
例6.求证: ( )。
证明:∵ ,∴ ,设 , ,
则 ,即: ,即: (*),
∵ ,∴ ,
∴ ,∴ ,即: 。
注意:(*)中不能用 来替换 ,虽然符号相同,但 ,不能用反余弦表示 。
四.课后作业 。
书上:P76.练习,P77. 习题4.11。(均要准确值,划掉书上的精确到)第一册已知三角函数值求角
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