初中数学平方差公式教案

时间：2023-01-10 09:12:36 数学教案我要投稿

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初中数学平方差公式教案

　　作为一名教师，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。那么写教案需要注意哪些问题呢？以下是小编为大家收集的初中数学平方差公式教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

初中数学平方差公式教案

初中数学平方差公式教案1

　　15.2 乘法公式

　　15.2.1平方差公式

　　教学目标

　　①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．

　　②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．

　　③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．

　　教学重点与难点

　　重点：平方差公式的推导及应用．

　　难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

　　教学准备

　　卡片及多媒体课件

　　教学设计

　　引入

　　同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：

　　探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

　　(1)(x+1)(x-1)=

　　(2)(m+2)(m-2)=

　　(3)(2x+1)(2x-1)=

　　引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

　　注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．

　　举例

　　再举几个这样的.运算例子．

　　注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．

　　验证

　　我们再来计算(a+b)(a-b)=

　　公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．

　　注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．

　　概括

　　平方差公式及其形式特征．

　　教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．

　　应用

　　教科书第152页例1运用平方差公式计算：

　　(1)(3x+2)(3x-2)

　　(2)(b+2a)(2a-b)

　　(3)(-x+2y)(-x-2y)

　　填表：

　　(a+b)(a-b) a b a2—b2 最后结果

　　(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22

　　(b+2a)(2a-b)

　　(-x+2y)(-x-2y)

　　对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．

　　注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．

　　(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．

　　(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．

　　教科书第152页例2计算：

　　(1)102×98

　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

　　此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．

　　注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．

　　(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．

　　巩固

　　教科书第153页练习1、2

　　练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．

　　注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．

　　解释

　　你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

　　多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．

　　注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．

　　(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．

　　小结

　　谈一谈：你这一节课有什么收获?

　　注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．

　　作业

　　1．必做题：教科书第156页习题15.2第1题

　　2．选做题：计算：

　　(1)x2+(y-x)(y+x)

　　(2)20082-20xx×20xx

　　(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

　　(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)

　　教学后记

初中数学平方差公式教案2

　　一、知识结构

　　二、 重点、难点分析

　　本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．平方差公式是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．

　　1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：

　　与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．

　　2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

　　只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如

　　在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．

　　3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意：

　　（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

　　（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

　　（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

　　（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．

　　三、教法建议

　　1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的`理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．

　　2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即

　　(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

　　这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．

　　3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，

　　(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

　　↓ ↓ ↓ ↓　↑　↑

　　(a + b)(a - b)=a2- b2．

　　这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．

　　另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．

　　教学目标

　　1．使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；

　　2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．

　　教学重点和难点

　　重点：平方差公式的应用．

　　难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

　　教学过程设计

　　一、师生共同研究平方差公式

　　我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．

　　让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：

　　两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？

　　(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)

　　继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式．

　　在此基础上，让学生用语言叙述公式．

　　二、运用举例?变式练习

　　例1?计算(1+2x)(1-2x)．

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2．

　　教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

　　例2?计算(b2+2a3)(2a3-b2)．

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　　＝(2a3+b2)(2a3-b2)

　　＝(2a3)2-(b2)2

　　＝4a6-b4．

　　教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

　　课堂练习

　　运用平方差公式计算：

　　(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．

　　例3?计算(-4a-1)(-4a+1)．

　　让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1．

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1．

　　根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

　　课堂练习

　　1．口答下列各题：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．

　　2．计算下列各题：

　　(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

　　三、小结

　　1．什么是平方差公式？

　　2．运用公式要注意什么？

　　(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

　　(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

　　四、作业

　　1．运用平方差公式计算：

　　(l)(x+2y)(x-2y)；(2)(2a-3b)(3b+2a)；

　　(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；

　　(5)(2x 3 +15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

　　2．计算：

　　(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；

　　(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

　　(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；

　　(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．

初中数学平方差公式教案3

　　教学目标

　　1、使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；

　　2、注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。

　　教学重点和难点

　　重点：平方差公式的应用。

　　难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式。

　　教学过程设计

　　一、师生共同研究平方差公式

　　我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子。

　　让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解。教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：

　　两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？

　　（当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的'结果为零，于是就剩下两项了。而它们的积等于乘式中这两个数的平方差）

　　继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式。

　　在此基础上，让学生用语言叙述公式。

　　二、运用举例变式练习

　　例1计算(1+2x)(1-2x)。

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2.

　　教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么。

　　例2计算(b2+2a3)(2a3-b2)。

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　　=(2a3+b2)(2a3-b2)

　　=(2a3)2-(b2)2

　　=4a6-b4.

　　教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算。

　　课堂练习

　　运用平方差公式计算：

　　(1)(x+a)(x-a)；

　　(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；

　　(4)(1-5y)(l+5y)。

　　例3计算(-4a-1)(-4a+1)。

　　让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演。

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1.

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1.

　　根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果。解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果。采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷。因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案。

　　课堂练习

　　1、口答下列各题：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　（3）(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)。

　　2、计算下列各题：

　　（1）(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法。

　　三、小结

　　1、什么是平方差公式？

　　2、运用公式要注意什么？

　　（1）要符合公式特征才能运用平方差公式；

　　（2）有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。