相似三角形判定定理的证明

时间：2021-11-05 19:30:00 证明我要投稿

相似三角形判定定理的证明

一、教材题目：P102，T1-T4

1．如图，在等边三角形ABC中， D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD,那么△ABC 与△DEF相似吗？请证明你的结论。

2．已知：如图， ADDEAE??.求证：AB=AE。

ACABBC

3．已知：如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，∠CBD的.平分线交AC于点E, 且AE=AB。

2求证：AE=AD·AC.

4.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

二、补充题目：部分题目来源于《点拨》

1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE交于点O，则图中相似三角形有( ) A．4对 B．5对 C．6对 D．7对

(第1题)

(第2题)

2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列比例式中，错误的是( )

A．AD2＝BD·DC B．CD2＝CF·CA

C．DE2＝AE·BE D．AD2＝AF·AC

5．如图，在△ABC中，BE和CD分别是边AC，AB上的高，求证：△ADE∽△ACB.

(第5题)

答案

教材

1．解：相似．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.又∵AE＝BF＝CD，∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CD，即BE＝FC＝AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE＝EF＝FD.∴△DEF是等边三角形．∴△ABC∽△DEF.

ADDEAE2．证明：在△ADE和△CAB中，∵＝，∴△ADE∽△CAB(三边成比例的两个三角形ACABCB相似)．∴∠AED＝∠B.∴AB＝AE.

3．证明：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，即∠EBC＋∠C＝∠ABD＋∠DBE.又∵BE平分∠CBD，

ABAD2∴∠DBE＝∠EBC.∴∠ABD＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴＝.∴AB＝ACAB

AD·AC.∵AE＝AB，

2∴AE＝AD·AC.

4．解：设ts时△QBP与△ABC相似．此时AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝(8－2t)cm.①当

PBBQ8－2t4t△PBQ∽△ABC时，＝＝，解得t＝2，∴当运动2 s时，△QBP与△ABC相ABBC816

似；

PBBQ8－2t4t②当△QBP∽△ABC时，＝，解得t＝0.8，∴当运动0.8 s时，△QBP与BCAB168△ABC相似．

点拨

1．C 点拨：△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△BOE∽△CAE，△COD∽△BAD.

DAAF22．A 点拨：∵∠ADC＝∠DFA＝90°，∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD.∴＝＝CAAD

AF·CA.排除D选项．同理CD＝CF·CA，DE＝AE·BE，排除B，C选项，无法得到AD＝BD·DC.故选A.

5．证明：∵BE，CD分别为边AC，AB上的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，

AEAB∴△AEB∽△ADC，∴.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. ADAC

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