罗保林《变化率问题、导数的概念》的教学反思

时间：2022-12-01 01:18:49 教学反思我要投稿

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　　在社会一步步向前发展的今天，教学是我们的任务之一，反思指回头、反过来思考的意思。反思要怎么写呢？下面是小编收集整理的罗保林《变化率问题、导数的概念》的教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。

罗保林《变化率问题、导数的概念》的教学反思

　　本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。

　　本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

　　完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

　　本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。

　　在例题讲解时，注重审题（分析关键的词句）和解题反思，感觉效果不错！但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完，我就是例2来不及分析完，于是当作课外作业，所以时间要注意调配。有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。

　　拓展阅读：《导数的概念》中数学说课稿

　　导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲。《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正。

　　一、教材分析

　　1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解。从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效。

　　1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心。不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用。导数的出现推动了人类事业向前发展。

　　1.3教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：

　　表1、知识主体结构比较

　　通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限。因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法。

　　1.4重、难点剖析

　　重点：导数的概念的形成过程。

　　难点：对导数概念的理解。

　　为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f（x）在点x0可导→f（x）在开区间（，b）内可导→f（x）在开区间（，b）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”。事实上：

　　（1）f（x）在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率的极限，是一个常数，区别于导函数。

　　（2）f（x）的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+△x的变化率的极限，是f（x）在任意点的变化率，其中渗透了函数思想。

　　（3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f（x）在x0处可导、再定义f（x）在开区间（，b）内可导、最后定义f（x）在开区间的导函数。

　　（4）y=f（x）在x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，表示为这也是求f′（x0）的一种方法。初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f（x）在点x0可导”、“f（x）在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比。

　　二、目的分析

　　2.1学生的认知特点。在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度。

　　2.2教学目标的拟定。鉴于这些特点，并结合教学大纲的要求以及对教材的分析，拟定如下的教学目标：

　　知识目标：

　　①理解导数的概念。

　　②掌握用定义求导数的方法。

　　③领悟函数思想和无限逼近的极限思想。

　　能力目标：

　　①培养学生归纳、抽象和概括的能力。

　　②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力。

　　情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点。接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

　　三、过程分析

　　设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成，发展和应用过程，帮助学生主动建构概念。

　　导数的概念测试题汇编

　　1.函数在某一点的导数是()

　　A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

　　B.一个函数

　　C.一个常数，不是变数

　　D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

　　[答案] C

　　[解析] 由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C.

　　2.如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为()

　　A.6 B.18

　　C.54 D.81

　　[答案] B

　　[解析] ∵s(t)=3t2，t0=3，

　　s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332

　　=18t+3(t)2st=18+3t.

　　当t0时，st18，故应选B.

　　3.y=x2在x=1处的导数为()

　　A.2x B.2

　　C.2+x D.1

　　[答案] B

　　[解析] ∵f(x)=x2，x=1，

　　y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2

　　yx=2+x

　　当x0时，yx2

　　f(1)=2，故应选B.

　　4.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t=5时的瞬时速度为()

　　A.37 B.38

　　C.39 D.40

　　[答案] D

　　[解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t，

　　s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故应选D.

　　5.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是()

　　A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函数值的增量

　　B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函数在x0到x0+x之间的平均变化率

　　C.f(x)在x0处的导数记为y

　　D.f(x)在x0处的导数记为f(x0)

　　[答案] C

　　[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.

　　6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y|x=x0，即()

　　A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)

　　B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]

　　C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x

　　D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

　　[答案] D

　　[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.

　　7.函数y=ax2+bx+c(a0，a，b，c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于()

　　A.4a B.2a+b

　　C.b D.4a+b

　　[答案] D

　　[解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx

　　=4a+b+ax，

　　y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故应选D.

　　8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()

　　A.圆 B.抛物线

　　C.椭圆 D.直线

　　[答案] D

　　[解析] 当f(x)=b时，f(x)=0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

　　9.一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2，则物体的初速度为()

　　A.0 B.3

　　C.-2 D.3-2t

　　[答案] B

　　[解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t，

　　s(0)=limt0 st=3.故应选B.

　　10.设f(x)=1x，则limxa f(x)-f(a)x-a等于()

　　A.-1a B.2a

　　C.-1a2 D.1a2

　　[答案] C

　　[解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a

　　=limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.

　　二、填空题

　　11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11，则

　　limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;

　　limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

　　[答案] -11，-112

　　[解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x

　　=-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;

　　limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x

　　=-12f(x0)=-112.

　　12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.

　　[答案] 0

　　[解析] ∵y=1+x+11+x-1+11

　　=x-1+1x+1=(x)2x+1，

　　yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.

　　13.已知函数f(x)=ax+4，若f(2)=2，则a等于______.

　　[答案] 2

　　[解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a，

　　f(1)=limx0 yx=a.a=2.

　　14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0，f(3)=2，f(3)=-2，则limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.

　　[答案] 8

　　[解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

　　=limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.

　　由于f(3)=2，上式可化为

　　limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.

　　三、解答题

　　15.设f(x)=x2，求f(x0)，f(-1)，f(2).

　　[解析] 由导数定义有f(x0)

　　=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

　　=limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0，

　　16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪射出时所用时间为1.610-3s，求枪弹射出枪时的瞬时速度.

　　[解析] 位移公式为s=12at2

　　∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2

　　st=at0+12at，

　　limt0 st=limt0 at0+12at=at0，

　　已知a=5.0105m/s2，t0=1.610-3s，

　　at0=800m/s.

　　所以枪弹射出枪时的瞬时速度为800m/s.

　　17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+x,4+y)，求(1)yx (2)f(1).

　　[解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x

　　=(1+x)2+3-12-3x=2+x.

　　(2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x

　　=limx0 (2+x)=2.

　　18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有，求出来，若没有，说明理由.

　　[解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)

　　y=f(0+x)-f(0)=f(x)

　　=x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)

　　limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1，

　　limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1，

　　∵limx0- ylimx0+ yx，x0时，yx无极限.

　　函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数，即不可导.(x0+表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x0且x趋近于0)

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