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函数的单调性(教案)二
(三)例题讲解 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5,5]上的函数f(x)的图象,根据图象说出f(x)的单调区间,并回答:在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数? (用投影幻灯给出图象.) 生甲:函数y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,因此[-5,-2],[1,3]是函数y=f(x)的单调减区间;在区间[-2,1],[3,5]上是增函数,因此[-2,1],[3,5]是函数y=f(x)的单调增区间. 生乙:我有一个问题,[-5,-2]是函数f(x)的单调减区间,那么,是否可认为(-5,-2)也是f(x)的单调减区间呢? 师:问得好.这说明你想的很仔细,思考问题很严谨.容易证明:若f(x)在[a,b]上单调(增或减),则f(x)在(a,b)上单调(增或减).反之不然,你能举出反例吗?一般来说.若f(x)在[a,b]上单调(增或减),且[ , ] [a,b],则f(x)在[ , ](增或减).反之不然. 例2 证明函数f(x)=3x+2在(-∞,+∞)上是增函数. 师:从函数图象上观察函数的单调性是最直观的,但如果每次都要画出函数图像就太麻烦了,而且有些函数不容易画出它的图像,一次我们必须学会根据解析式和定义来证明。 师:怎样用定义证明呢?请同学们思考后在笔记本上写出证明过程. (教师巡视,并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较 和 的大小关系感到无从入手,教师应给以启发.) 师:对于 和 我们如何比较它们的大小呢?我们知道对两个实数a,b,如果a>b,那么它们的差a-b就大于零;如果a=b,那么它们的差a—b就等于零;如果a<b,那么它们的差a-b就小于零,反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系. 生:(板演)设 , 是(-∞,+∞)上任意两个自变量,当 时, , 所以f(x)是增函数. 师:他的证明思路是清楚的.一开始设 , 是(-∞,+∞)内任意两个自变量,并设 (边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线,并标注“①→设”),然后看 ,这一步是证明的关键,再对式子进行变形,一般方法是分解因式或配成完全平方的形式,这一步可概括为“作差,变形”(同上,划线并标注”②→作差,变形”).但美中不足的是他没能说明为什么 <0,没有用到开始的假设“ ”,不要以为其显而易见,在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为x1<x2,所以 ,从而 <0,即 .”这一步可概括为“定符号”(在黑板上板演,并注明“③→定符号”).最后,作为证明题一定要有结论,我们把它称之为第四步“下结论”(在相应位置标注“④→下结论”). 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤,请同学们记住.需要指出的是第二步,如果函数y=f(x)在给定区间上恒大于零,也可 小. 调函数吗?并用定义证明你的结论. 师:你的结论是什么呢? 上都是减函数,因此我觉得它在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. 生乙:我有不同的意见,我认为这个函数不是整个定义域内的减函数,因为它不符合减函数的定义.比如取x1∈(-∞,0),取x2∈(0,+∞), 显然成立,而 , ,显然有 ,而不是 ,因此它不是定义域内的减函数. 生:也不能这样认为,因为由图象可知,它分别在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数. 域内的增函数,也不是定义域内的减函数,它在(-∞,0)和(0,+∞)每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增(减)区间之间不要用符号“∪”连接.另外,x=0不是定义域中的元素,此时不要写成闭区间. 上是减函数. (教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拔.可依据学生的问题,给出下面的提示: (1)分式问题化简方法一般是通分. (2)要说明三个代数式的符号:k, , . (3)如果用作商的方法,要注意说清 与1的关系,还要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候,不等号方向要改变。 (四)课堂练习 课本38页练习1、2、3. (五)课堂小结 师:请同学小结一下这节课的主要内容,有哪些是应该特别注意的? (请一个思路清晰,善于表达的学生口述,教师可从中给予提示.) 生:这节课我们学习了函数单调性的定义,要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语;在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接;最后在用定义证明函数的单调性时,应该注意证明的四个步骤. (六)布置作业 课本P45练习第1,2,3,4题.【函数的单调性教案二】相关文章:
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