一元二次方程与圆的知识点总结

时间：2023-04-30 05:10:29 工作总结我要投稿

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一元二次方程与圆的知识点总结

一元二次方程

一元二次方程与圆的知识点总结

考点二、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点三、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?a是b的平方根，当b?0时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0) 2a

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二

次方程中的各系数，在题目中很常用

考点四、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac ①当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

②当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

③当△<0时，一元二次方程没有实数根.

考点五、一元二次方程根与系数的关系

b如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??，a

cx1x2?。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方a

程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

四垂径定理:

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中

2个即可推出其它3个结论，即： ???④ ?AC?⑤AD ①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE BC?BD

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD

五圆心角定理

六圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心

的角的一半 BA即：∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角

∴∠AOB=2∠ACB

圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，

所对的弦是直径

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90°

∴∠C=90° ∴AB是直径

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形

A是直角三角形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

七圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°

∠DAE=∠C

八切线的性质与判定定理

（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN是切线

∴MN⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的

切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线

∴PA=PB

PO平分∠BPA

九圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1::2

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA=

1:1:（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，

AB:OB:OA= 1::2

十、圆的有关概念

1、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质

2、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质

?轴对称?

3、圆的对称性。→ ?中心对称

O十一、圆的有关线的长和面积。 l 1、圆的周长、弧长

C=2?r, l=R?

2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S圆=?r2 ，

12lr?rl+?r底面圆 S扇形=2 S圆锥= 底面圆母线

3、求面积的方法

直接法→由面积公式直接得到

间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换

十二、侧面展开图：

①圆柱侧面展开图是长方形,它的长是底面的周长,高是这个圆柱的母线； ②圆锥侧面展开图是扇形，它的半径是这个圆锥的母线，它的弧长是这个圆锥的底面的周长。

十三、正多边形计算的解题思路：

连 OAB作垂线OD?????????正多边形转化等腰三角形转化直角三角形。

可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，

再用解直角三角形的知识进行求解。

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