中考数学圆知识点总结

时间：2024-07-30 21:54:53 学人智库我要投稿

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中考数学圆知识点总结

　　锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.下面是小编整理的相关内容，欢迎大家阅读参考！

中考数学圆知识点总结

　　中考数学圆知识点总结(一)

　　圆的定义：

　　圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。

　　在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

　　相关定义:

　　1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

　　2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

　　3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。

　　4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。

　　5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

　　6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

　　7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

　　8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

　　9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

　　10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

　　11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

　　12 圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但不等于0。

　　圆的集合定义：

　　圆是平面内到定点的距离等于定长的`点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

　　圆的字母表示：

　　以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。

　　圆—⊙ ;

　　半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);

　　弧—⌒ ;

　　直径—d ;

　　扇形弧长—L ;

　　周长—C ;

　　面积—S。

　　圆的性质:

　　(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

　　圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

　　逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

　　(2)有关圆周角和圆心角的性质和定理

　　① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

　　②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。

　　直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

　　圆心角计算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

　　即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

　　③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

　　(3)有关外接圆和内切圆的性质和定理

　　①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;

　　②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

　　③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)。

　　④两相切圆的连心线过切点。(连心线：两个圆心相连的直线)

　　⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

　　(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

　　(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

　　(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

　　(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

　　(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

　　点、线、圆与圆的位置关系：

　　点和圆位置关系

　　①P在圆O外，则 PO>r。

　　②P在圆O上，则 PO=r。

　　③P在圆O内，则 0≤PO

　　反过来也是如此。

　　直线和圆位置关系

　　①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

　　②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

　　③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)

　　圆和圆位置关系

　　①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

　　②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

　　③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

　　设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r;外切P=R+r;内含P

　　内切P=R-r;相交R-r

　　中考数学圆知识点总结(二)

　　1.圆的周长C=2πr=或C=πd

　　2.圆的面积S=πr2

　　3.扇形弧长L=圆心角(弧度制)× r = n°πr/180°(n为圆心角)

　　4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2(L为扇形的弧长)

　　5.圆的直径 d=2r

　　6.圆锥侧面积 S=πrl(l为母线长)

　　7.圆锥底面半径 r=n°/360°L(L为母线长)(r为底面半径)

　　圆的方程:

　　1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是

　　(x-a)2+(y-b)2=r2。

　　特别地，以原点为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2。

　　2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有：

　　①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(√D2+E2-4F)/2为半径的圆;

　　②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);

　　③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。

　　3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)

　　圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

　　圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

　　经过圆x2+y2=r2上一点M(a0，b0)的切线方程为 a0·x+b0·y=r2

　　在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。

　　初中数学圆知识点总结(三)

　　一)教学知识点

　　了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

　　(二)能力训练要求

　　1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

　　2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.

　　(三)情感与价值观要求

　　1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

　　2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

　　教学重点

　　1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

　　2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

　　3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

　　教学难点

　　经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.

　　教学方法

　　教师指导学生自主探索交流法.

　　教具准备

　　投影片三张

　　第一张：(记作§3.4A)

　　第二张：(记作§3.4B)

　　第三张：(记作 §3.4C)

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课

　　[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索.

　　Ⅱ.新课讲解

　　1.回忆及思考

　　投影片(§3.4A)

　　1.线段垂直平分线的性质及作法.

　　2.作圆的关键是什么?

　　[生]1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

　　作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等.

　　[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的'关键是什么?

　　[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

　　2.做一做(投影片§3.4B)

　　(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?

　　(2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

　　(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的?你能作出几个这样的圆?

　　[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答.

　　[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆. 由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

　　(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

　　(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心.

　　因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

　　[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢?

　　3.过不在同一条直线上的三点作圆.

　　投影片(§3.4C)

　　作法图示

　　1.连结AB、BC

　　2.分别作AB、BC的垂直

　　平分线DE和FG，DE和

　　FG相交于点O

　　3.以O为圆心，OA为半径作圆

　　⊙O就是所要求作的圆