相似三角形判定定理的证明课件
第23章 图形的相似
第5节 相似三角形判定
WY
复习回顾
全等判定：
(对应)边角
(6组量) 判定方法 角边角 角角边 边边边
边角边
1.两角分别相等
三角分别
相等, 三2.三边成比例 3.两边成比例且
夹角相等
4.两边成比例且
其中一边的对角相等 边成比例
判定定理一： 两角分别相等的两个三角形相似。
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。 ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B，
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC。 A A/ E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC B C B/ C/ 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“有两个角对应相等的两个三角形相似。”
证明：在ΔABC的`边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
A
A/
E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C B/ C/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“
有两个角对应相等的两个
三角形相似。”
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的
两个 三角形相似.
判定定理三：三边成比例的两个三角形相似
?如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? ?你用什么方法来支持你的判断?
AB?8 ,BC? ,AC?2 ;A?B??4,B?C??,A?C??2;
ABACBC2?????2.A?B?A?C?B?C?1
有一对 等角,找
另一对等角---用判定定理1 夹边成比例---用判定定理2 夹角相等----用判定定理2
有两边对应 边成比例,
第三边也成比例---用判定定理3
找
有一对直角---用直角三角形 相似的判定定理
B
D C B
D E
D C
C
B
B C
C
B
D
D
F
提示：易知?B1A1C1??B2A2C2
???90?45
由勾股定理得
A1B1?22，A1C1?4A2B2?2，A2C2?2
ABA2B2
??
ACA2C2
?△A1B1C1∽△A2B2C2
练习提高
思路分析： ∽ 先证明
先证明
上面的思路分析可以用一段顺口溜来表述：
证等积，化等比；
横找竖找定相似. 不相似，别着急； 等线等比来代替. ……
如何证明
△ABD∽△ACB
易知∠A是△ABD和△ACB 根据两角分别相等的 的公共角，
两个三角形相似，只要再证明一对角相等即可。观察图形，猜想 ∠3=∠C ？
1
2
∠3=∠C
∠3=∠C ∠A= ∠A
△ABD∽△ACB
1
2
AC
?
AB
AB?AD?AC
AE=AB
AE2=AD·AC
2
①当∠1=∠C时
②当∠1=∠A时
（2）已知AD=3，BD=5，AE=4，求AC的长 两角分别相等的两个三角形相似（2） ∵△ADE∽△ACB （已证）
ADAE??ACAB
34??，解得：ACAC3?5
?6
2）已知AD=5，BD=2， 求AC的长
两角分别相等的两个三角形相似（2） ∵△ACD∽△ABC （已证）
ACAD
??ABAC
AC5??解得：AC??35(负值舍去)5?2AC
相似三角形的常见类型
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