一元二次不等式的解法导学案

一元二次不等式的解法导学案

一元二次不等式解法中蕴含的数学思想方法

　　——《一元二次不等式的解法》导学案

　　邵丽云

　　内容分析：

　　一元二次不等式的解法是在初中学习了一元一次不等式、一元一次不等式组后而学习的内容。一元二次不等式的解法是研究函数的重要工具，是高中数学的重要内容，也是高考常考的内容。一元二次不等式的解沟通了三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系，蕴含诸多重要的数学思想方法，如数形结合，函数方程，分类讨论，转化化归等重要的思想方法。本节主要是通过不等式的解法教学，让学生了解、掌握一些重要的思想和方法

　　学习目标：

　　1.经历探索一元二次不等式求解的推理过程，会解一元二次不等式。

　　2.找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的内在联系。

　　3.体悟数形结合、函数方程、分类讨论、转化和化归等数学思想与方法。

　　学习重点：

　　一元二次不等式的解法。

　　学习难点：

　　一元二次不等式的解法的分类讨论。

　　学习关键：

　　找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系。

　　学习过程：

　　环节1：设疑导思

　　设疑：当x取什么值的时候，2x-7的值)等于0；大于0；小于0。

　　思考：可以用几种方法求解上题？

　　提出问题：类比上述图象解法，能否解决不等式x2-x-6＞0，x2-x-6＜0？

　　如何解决？

　　(学生独立完成，一名学生板)

　　观察黑板上图象可得：当x＜-2或x＞3时，x2-x-6＞0。

　　当-2＜x＜3时，x2-x-6＜0。

　　【设计意图：揭示一元二次函数和一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系，渗透数学结合,函数方程思想方法。】

　　环节2：探究方法

　　问题1：怎样确定一元二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx+c＜0的解集？

　　组织讨论：

　　思考方向：(1)确定一元二次不等式的解的关键是什么？

　　(2)有根的前提下，两根之内还是两根之外由什么决定？

　　解题策略：使a值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。

　　【设计意图：归纳方法，渗透由特殊到一般的思想方法。】

　　从上例出发，结合学生的回答结果，归纳出一元二次不等式解法，

　　老师引导，学生总结：

　　①抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置，由二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac的情况确定，分△＞0、△=0、△＜0三种情况。

　　②a＜0可转化为a＞0。

　　黑板显示出：三个二次之间的关系 由学生填空.并归纳解一元二次不等式的步骤(学生总结，教师归纳补充)：

　　①化二次项系数a为正；

　　②求△；

　　③解对应的一元二次方程；

　　④最后求解出一元二次不等式。

　　环节3：运用巩固

　　[例1] 解下列不等式：

　　(1) x2＋8x＋15＞0 (2)－x2－3x＋4＞0 (3) 2x2－1＜x2＋4x－2

　　(4) －x2＋2x＞1 (5) x2＋2x＋3＞0 (6) x2－2x＋5＜0

　　解题反思：你觉得在解一元二次不等式过程中有哪些注意点？

　　【设计意图：熟练掌握方法，注意数形结合，函数方程等思想方法的应用。】

　　环节4：深化拓展

　　问题2：能否写出一个解集为(－2，1)的一元二次不等式？这样的不等式有几个？能给出一个一般的形式么？（学生交流讨论）

　　[例2]若不等式2x2－ax＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。

　　【设计意图：体悟转化化归思想，函数方程，数形结合的数学思想方法。】

　　问题3：会解含参数的不等式吗？

　　[例3] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。

　　反思：(1) 引起讨论的原因是什么？

　　(2) 如何进行讨论？

　　[例4] 解关于x的不等式：x2－(m＋2)x＋2m＜0。

　　反思：(1) 引起讨论的原因是什么？

　　(2) 如何进行讨论？

　　[例5] 解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0。

　　反思：(1) 引起讨论的原因是什么？

　　(2)如何进行讨论？

　　第一层次：一次不等式还是二次不等式的不确定性，对m≠0与m＝0进行讨论。

　　第二层次：x2前系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论。

　　第三层次： 与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论。

　　[例6] k为何值时，关于x的一元二次不等式x2＋(k－1)x＋4＞0的解集为(－∞，∞)？

　　变式1：k为何值时，关于x的一元二次不等式(k＋1)x2－2x＋k＋1＞0的解集为(－∞，∞)？

　　变式2：k为何值时，关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x＋2＞0的解集为

　　(－∞，∞)？

　　【设计意图：加深对不等式解的理解，渗透分类讨论、数形结合的思想方法。】

　　环节5：总结提升

　　请从知识、思想方法等方面谈谈你的收获？

　　体悟数学思想 活用数学方法

　　一、在优化内容时注重数学思想方法的挖掘

　　（一）明确学习内容标准，挖掘教材蕴含的数学思想方法。

　　（二）从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。

　　二、在课堂教学中注重数学思想方法的体悟

　　（一）探索“方法”，感悟“思想”。

　　（二）形成“方法”，理解“思想”。

　　（三）运用 “方法”，内化“思想”。

　　（四）提炼“方法”，完善“思想”。

　　三、在学业评价中注重数学思想方法的考评

　　（一）函数方程思想方法

　　（二）数形结合思想方法

　　（三）转化化归思想方法

　　（四）分类讨论思想方法

　　（五）特殊与一般思想方法等

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